神经元系统的鲁棒主机同步

抽象的

为了理解神经元系统的生理机制，人们引入了工程学的概念来解释大脑是如何工作的。神经元的同步是理解神经科学中生物行为的中心话题，并且已经使用控制工程的概念来解决。介绍了一种简单可靠的神经元系统鲁棒同步方法。提出的同步方法是基于主从配置结合耦合输入增强模型不确定性补偿。我们的方法对于神经系统的同步有两个很好的特点:(i)一个简单的结构，使用了最小的信息(ii)对模型不确定性和噪声有很好的鲁棒性。两个基准的神经元系统，霍奇金-赫胥黎和Hindmarsh-Rose神经元，被用来说明我们的发现。提出的同步方法旨在了解外部电刺激对神经细胞的影响。

1.介绍

了解大脑如何从定量观点是神经工程师的领域[1］．神经工程师应用数学和计算模型，电气工程和活性神经元组织的信号处理[1那2］．神经科学的两个基本问题是单个神经元的同步和同步活动的功能作用[3.那4.］．神经元活动的同步对记忆、计算、运动控制和癫痫等疾病是必要的[5.-8.］．

同步活动和时间相关对于编码和交换大脑中神经元信息处理的信息至关重要[2-4.］．神经元系统中的同步方法旨在探索神经元之间的通信，以计算类似于观察到的实验电池活动的偶联功能[6.-10］．从一般同步的角度来看，可以将同步方法分为两个一般组[11那12: (i)自然耦合(自同步)[13-21]和(ii)使用状态观察者或反馈控制方法的人工耦合[22-34］．

处理神经元同步问题的经典方法包括扩散和相位耦合[12-21］．通过缝隙连接的扩散耦合被认为是许多神经元过程中耦合的自然形式[19-21］．缝隙结可以写成扩散耦合的一种特殊形式。相位耦合包括将种群中的每个成员建模为相位振荡器，并通过相位差的正弦来耦合它们[21］．例如，Wang等人[19应用相差，以研究两个电耦合神经元的不同状态。

从控制工程，两种用于同步非线性系统的方法，包括神经系统的情况，是（i）基于观察者的同步[11那12那22，利用状态观测器同步具有相同阶次和结构的非线性振荡器，达到相同的同步;(ii)基于控制器的同步[23-34]，它使用控制法实现非线性振荡器之间的同步，具有不同的结构和顺序。

由于神经元模型的存在，动态的不确定性和非线性，控制设计构成了重大挑战。实际上，神经元模型具有显着的结构和参数的不确定性。例如，从各种源获得的生物物理数据获得电池电容和电阻[4.那35］．此外，实验观察结果指出，神经系统系统中的同步现象具有针对蜂窝变异性和内在噪声的鲁棒性能[36-40］．

有关神经元系统同步的贡献如下。Aguilar-López和Martínez-Guerra [24]提出了一种高阶滑模控制器，该控制器对外部扰动和内部噪声具有良好的鲁棒性。Bin等人[25]提出了一种基于李雅普诺夫函数的反演控制方法，该方法可以在外界干扰的情况下实现同步。基于反馈线性化思想，Cornejo-Pérez和Femat [26Wang等人[27那28]引入了非线性控制器，在外部干扰和未测量状态下实现耦合神经元的同步。Nguyen和Hong [29]设计了具有参数自适应的非线性和线性控制器，以考虑参数不确定性。他们实现了两个耦合神经元的同步。使用MPC和最优控制器，Fröhlich和Jezernik [30.那31]设计了抑制神经元振荡的控制器。Rehan等人[23]和热汗及洪[32提出了一种基于线性矩阵不等式控制器和不确定参数自适应律的鲁棒同步方法。Puebla等[33]提出了一种具有不确定性补偿的鲁棒反馈控制方案，用于耦合神经元中的调节和跟踪任务。王及赵[34]基于动态的反转，提出了一种基于非线性模型的控制器，其保证在没有参数不确定因素下的同步。上述大多数论文都解决了神经元系统的鲁棒同步问题。然而，它们的实际应用是有限的，因为它们的结构和高计算成本以及涉及控制设计。

控制器设计的特定配置是主从同步配置，其中从神经元的可变状态被迫遵循主神经元的轨迹，这导致自主同步误差。在这项工作中，我们通过基于建模误差补偿（MEC）思想的鲁棒方法来解决神经元系统的主从同步[41］．耦合系统有不同类型的同步[11-13］．本文将神经元系统的同步定义为膜电位的匹配。结果表明，MEC方法可以通过耦合函数实现膜电位的稳定同步。在两个基准神经元系统上的数值仿真表明了鲁棒同步器设计的良好性能。

本文的主要贡献可以概括为四个方面。(i)我们基于主从同步误差的直接动力学推导了我们的控制方法，导致了自主跟踪误差，避免了反馈线性化和反步方法中坐标的变化。(ii)提出的鲁棒同步方法使用了最小的系统信息(仅膜电位测量)，耦合信号也仅注入到膜电位，便于在实际系统中实现。(iii)我们使用奇异摄动理论作为我们主要的非线性稳定性工具[41那42，包括模型不确定性引起的互联动态影响。(iv)我们的方法结构简单，对外界扰动和噪声具有良好的鲁棒性，便于进行生理学解释。

这项工作的其余部分是如下组织的。节2，我们介绍两个神经元系统的基准案例研究。节3.，提出了一种鲁棒的主从同步。部分4.介绍了一种鲁棒主从同步方法的实现和性能。最后,在节5.，我们提供一些结束语。

2.神经元建模

数学建模对神经科学产生了巨大的影响[1-4.那35］．文献中已经报道了各种神经元电活动的动态模型[2-4.那43-46］．在本节中，我们将介绍两个神经元系统的基准案例研究:(i) Hodgkin and Huxley (HH)提出的模型[35那43-46，这是一个真实的神经元模型，描述了电脉冲沿鱿鱼轴突膜的传播，以及(ii) Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型，该模型基于神经生物学中描述信号跨轴突传播的Hodgkin-Huxley类型模型[2那16那35］．在案例研究模型结构的基础上，介绍了耦合或非耦合神经系统的一般模型。为完整起见，我们简要介绍了神经元的建模。

2.1。构建神经元的电活动

生物体的神经系统由神经元组成，是细胞间快速传递信息的通讯网络。2那16那35］．神经元通过树突接收信息，树突通过轴突传递，轴突通过突触与其他神经元连接[2那16］．通过神经细胞的外膜传输钠和钾的运输是对发送信息的电信号对其他神经元的负责[2那16］．

神经元是可兴奋的介质，对电刺激有反应，在研究神经元时利用了这种反应。在低电流冲击后，可兴奋细胞立即放松到初始状态。如果脉冲超过阈值，单个神经脉冲出现在沿神经传播的神经组织的可兴奋膜(动作电位)上，保持恒定的振幅和形式[2那16那35］．

电脉冲沿膜轴突的传播机制与膜的介电常数取决于现有的电流和电压这一事实有关，而且不同离子的介电常数也不同[43-45］．特别是，钠离子和钾离子是神经元功能的基础[2那16那35］．当神经元处于静息状态时，钠离子和钾离子是不能通过细胞膜的。一个不活跃的神经元有一个静息电位，它是通过一种叫做钠-钾泵的转运蛋白产生的。这种蛋白质将钠离子转移到细胞外，同时将一些钾离子转移到细胞的细胞质中。因此，由于移动到细胞外的钠离子的数量大于移动到细胞内的钾离子的数量，细胞外的电位比细胞内的电位高。当刺激到达神经细胞时，它的表面变得可以渗透到钠离子，钠离子流入细胞，导致极化逆转。细胞内部带正电，外部带负电。然后，内部变得对通过钾离子通道向外流动的钾离子具有渗透性，逆转了细胞在静息状态下的极化。为了恢复这种极化，细胞内部过量的钠离子和外部过量的钾离子被泵入[2那16那35那43-46］．

HH描述了通过一组数学方程具有外部电信号的激发鱿鱼巨型轴突的动作势波[2那16那35那43-46］．目前，它仍是描述此类现象的基本模型[2那16那35］．用于鱿鱼巨型轴突的膜中兴奋性的HH模型是复杂的，并且由耦合到三个常微分方程的一个非线性偏微分方程组成[43-45］．

20世纪60年代初，FitzHugh将模型约简技术应用于HH方程的分析[45］．这一HH方程的简化后来被称为FitzHugh-Nagumo (FHN)模型，并对兴奋性过程的数学和生理复杂性提供了深刻的见解[2那16那45］．FHN模型的约简利用了两个通道的时间尺度完全不同这一事实。钠通道比钾通道具有更快的时间尺度。因此，钠通道总是处于平衡状态，将HH模型简化为两个方程[45］．因此，FHN模型是HH模型的近似，保留了动作电位的基本特征。

２.２.HH神经元模型

HH神经元通常被用作神经元系统的真实模型，用于研究神经元同步。HH模型描述了神经元中的动作电位是如何开始和传播的，并近似于可兴奋细胞的电特性[44］．以下八个常微分方程（ODES）描述了两个神经元的HH模型[2那16那35]： 在哪里 那 那 那和（次领 分别表示膜电位、钾流电流的激活和钠流电流的失活。为膜电容， 那 那和是最大的离子和泄漏电导，以及 那 那和为离子和泄漏反转电位[2那4.那16那39］．为外部刺激电流。的函数和描述通道的开启和关闭状态之间的转换速率。

２.３.Hindmarsh-Rose神经元

作为第二个案例研究，我们考虑了一个基准的Hindmarsh-Rose (HR)神经元模型，它可以看作是神经生物学中描述轴突信号传输的HH类型的生理学现实模型[2那16那35］．在外部电流刺激下，个体HR模型可能会表现出混沌行为。两个不耦合的HR神经元的模型描述为 在哪里为膜电位，与纳⁺或者K⁺,与慢速电流相关联，例如CA^２＋．为外部电流输入。

2.4。同步神经元系统的一般模型

我们考虑一类通过膜电位耦合的神经系统主从结构，即， ．主神经元的动力学模型为 在哪里为主神经元的膜电位是主神经元的剩余状态。

从神经元的动力学模型为 在哪里表示奴隶神经元的膜电位和是从属神经元的剩余状态。

耦合神经元可以被建模为 在哪里表示同步错误和是施加于从神经元的外部电输入。

以下是按顺序的评论:(我)原始HH模型由耦合非线性ode给出，ode是描述神经元膜的全偏微分方程(PDEs)的简化[2那16那35那43-46］．当它们暴露于外部电流时，HH和HR神经元模型都可以再现其主要特征（激励阈值，相对和绝对耐火周期以及脉冲列车的产生）。因此，对于同步设计目的，具有小维度和更复杂性的基准模型更适合。(2)外部输入表示从电极外部施加到电池的电流。膜电压也可以很容易地测量，并且使用这种输入-输出变量的组合可以很容易地实现控制器。使用外部电流作为可操作变量是现实的，因为它对导致神经元去极化和复极化的膜电位动力学有重大影响[2那4.］．另一方面，一些实验研究表明，耦合神经元的同步依赖于外部刺激特性[10那13-15］．（iii）神经元模型的不确定性主要有两种形式:结构不确定性和参数不确定性[35那40那43］．结构性不确定性是指模型中钠和钾电导曲线的拟合的不同选择。从复杂模型到更简单的模型的近似引起的不确定性也适合模型不确定性的类别。参数不确定度是指模型不同参数的数值基本值的变化。这些参数可以包括由于组织的内在电和磁性和磁性的变化。例如，每个神经元可以具有不同的导电量[16那35那40］．此外，分子的热运动导致模型变量的噪声和波动[36-39］．

3.健壮的主从同步

在本节中，基于建模误差补偿(MEC)的思想，给出了同步器的设计。首先，将问题表述为主从结构，并介绍了同步器设计的一些假设。然后，给出了同步方法的鲁棒性和稳定性问题。

3.1。同步问题

同步问题如下所述;也就是说，主神经元的输出是从神经元的参考，因此从系统的输出渐近地跟随主系统的输出。我们在从神经元上施加一个外部信号来跟踪主神经元的期望行为。数字1给出了同步方法的方案。

以下假设完成了同步问题描述： 非线性功能和是光滑的函数。 由（以（）给出的一般耦合神经元模型5.）受到有界变异的不确定性和外部扰动的影响。 主从神经元的膜电压测量可用于同步设计。

以下是按顺序的评论:(我)(A1)是现实的。事实上，神经元模型非线性的主要来源是电导曲线，它满足这些假设[2那16那35］．(2)(A2)认为耦合神经元模型包含不确定参数和未建模动力学相关的不确定性，即 ．如上一节所述，函数和可以包含不确定的参数，或者在最坏的情况下，整个项是未知的。的确，神经元模型中的参数具有一定的不确定性，因为这些参数值通常是通过实验数据估计出来的，由于拟合数据的估计过程和数据本身的实验误差都存在误差[35那40那43］．

３．２．健壮的同步设计

同步器的设计包括以下步骤。（1）考虑由(5.)： （2）把这些不确定的条款放在一个新国家里[33那34］．来自（5.）和假设（a1）和（a2），建模错误等价模型为 （3）估计不确定项通过降阶观测器[33那34]： 介绍 ，则降阶观测器可写成: 在哪里是唯一的观测器设计参数。在控制理论的背景下，降维观测器可以被视为一个信号估计器，其中建模误差信号被视为一个附加状态。这样，建模误差的估计使控制系统对模型不确定性具有鲁棒性。（4）设计一个同步器，使同步误差在给定的动力学条件下为零 通过以下耦合输入获得: 在哪里是Synchronizer设计参数。以这种方式，渐近融合 ,所以 ，保证。

由此产生的同步器仅依赖于主从神经元的膜电压测量和集总不确定项的估计值 ．还应注意，所提出的同步器仅具有两个参数，一个用于观察者，另一个用于耦合输入 ．

两个参数的调整遵循一个简单的规则[41]： ,在那里为主神经元的主振荡频率的倒数，可以被视为同步时间常量，被调整以获得满意的同步性能，以及确定了建模误差估计的平滑性。

3.3。鲁棒性和稳定性

为了获得满意和实用的同步策略，它们应该在响应模型不确定性和外部摄动时具有鲁棒性。所提出的同步器设计对模型不确定性的鲁棒性与估计的集总不确定性项的补偿有关。

所提出的同步器设计的稳定性分析基于奇异扰动参数[41那42］．为完备性起见，现将MEC方法稳定性结果的主要思想简述如下[34］．

鉴于同步错误将估计误差定义为 ，则同步系统变为 在哪里 表示集总不确定项的时间导数，不依赖于 ．通过假设(A1)和(A2)，可以证明这种时间导数是其参数的连续函数。因此，存在两个正常数和两个独立的 那这样 同步系统可以被视为非线性奇异扰动系统为摄动参数和和分别为慢变量和快变量[42］．简化的系统(通过取 )和边界层系统(取时间标度得到 和 )是线性渐进稳定的。因此存在一个最大估计时间常数 那这一切 规定错误渐近零点。最大估计时间常数可以作为所提出的同步器的稳健性的度量。更大的值导致更好的健壮性能力。较小的值导致更快地估计建模错误。但是，过度小的值在实践中必须避免，因为测量噪声和未建模的高频动力学(例如执行器动力学和死区时间)对估计器带宽有限制。稳定性结果表明，扰动、噪声和有界变化的波动不会影响同步器的稳定性设计。

4.数值研究

在本节中，仿真结果将用于案例研究的同步。首先，针对三组同步器参数提出了同步器方法 ．其次，考虑了模型参数不确定性的鲁棒性。最后，对随动膜电位随机波动的同步能力进行了评估。

4.1。HH神经元的同步

我们考虑两个HH神经元，其函数形式如下和（ )，描述了通道开启状态和关闭状态之间的转换速率[4.]： 基本数值模拟的其他模型参数是[19那25] mV, mV, mV, mV(分别表示钠、漏和钾的平衡电势)，  ms/cm²那  ms/cm²,  ms/cm²那  ms/cm²(表示相应离子电流的最大电导)， F /厘米²(膜电容), , (外部应用电流)。采用Matlab软件v.7编写的四阶龙格-库塔积分算法进行数值模拟，积分步长为0.1，初始条件如下:( 和 ．

以下4.4.1。两个HH神经元的同步

数字2显示了三组不同的同步器参数的同步结果 :(a)基本参数(连续黑线)，(b)较高的控制参数(连续蓝线)，(c)较小的控制参数（连续红线）。耦合输入在时间接通 ms。考虑外接电流的实际值，耦合输入的最小值和最大值是设置为 和 ．

如图所示2， HH神经元在同步器激活前表现出不同的简单周期动力学行为。采用该同步器方法后，同步误差收敛到零。结果表明，采用基准同步器参数时，同步误差较低。从态和主态之间的轻微不匹配是由于耦合函数的饱和。较低的同步器参数值会引起显著的不匹配，因为耦合函数的高强度在大部分时间停留在较高的饱和水平。另一方面，较大的同步器参数值表明耦合输入的作用较小，但在这种情况下也观察到显著的不匹配。

从图2，可以观察到需要高的外部耦合函数来同步膜电位。这与理论和实验观察相一致，在HH神经元中，一个小的外部施加电流导致一个小的净电流，驱动膜电位停止(复极化)[4.那43］．因此，中等到高的外加电流会产生实现同步所需的扰动。

4.1.2。不确定模型参数和膜电位波动的鲁棒性

MEC同步方案对参数不匹配和膜电位波动的鲁棒性的评估如下。(i)首先考虑主从神经元之间5%的随机参数不匹配。(ii)在从属神经元的膜电位中随机增加10%的波动。以上扰动采用高斯随机噪声模拟，高斯随机噪声通常用于模拟神经科学中最常见的扰动[4.那35］．同步器参数设置为图中的基准值2．

仿真结果如图所示3.和4.．在相同的参数的情况下，仅注意到类似的同步错误，仅具有耦合功能的轻微扭曲。因此，可以观察到，同步方案的性能显示出随机扰动的良好稳健性能力。

4.2。HR神经元的同步

在第二个案例研究中，我们考虑两个HR神经元。基本参数值为[13那21] 那 那 那 那 那 那 , ．在这种情况下耦合输入的最小值是 ，使得从属神经元的最小外部电流为零。在这种情况下，还使用MATLAB V.7中编程的四阶Runge-Kutta集成算法执行数值模拟，其中集成步骤0.1和以下初始条件： 和 ．

4.2.1。准备两个HR神经元的同步

数字5.显示了两个神经元和三组不同的同步器参数的数值结果 :(a)基本参数(连续黑线)，(b)较高的控制参数(连续蓝线)，(c)较小的控制参数（连续红线）。耦合输入在时间接通 ms。从图中可以看出5.在同步器实现之前，主从神经元表现出混沌动力学行为，且未同步。

数字5.表明，对于标称和小同步器参数，同步误差动态快速零。另一方面，对于更高的同步器参数值，同步误差也消失，但经过大量的暂时性动态。请注意，较低和较高的同步器参数所需的耦合功能显示振荡行为。特别地，由于所提出的估计器的高灵敏度，小同步器参数的效果导致振荡行为的增加。

4.2.2。不确定模型参数和膜电位波动的鲁棒性

数据6.和7.显示，对于同步器的基本参数值，同步方法对参数不匹配和测量电位波动的鲁棒性能力。在这两种情况下，几乎都实现了完全的同步。数字6.结果表明，为了抑制参数的不确定性，耦合输入需要在神经元的尖峰行为区域作出重大努力。另一方面，测量噪声的影响也反映在耦合输入中，耦合输入表现出噪声行为，强度低于无噪声测量，反映了在真实神经元中观察到的一些行为[36-39］．

4.2.3。3个HR神经元的同步化

图中所提出的三种耦合神经元（即，两个从神经元）的延伸在图中示出8.．在这种情况下，第二个奴隶神经元的初始条件是 , ．我们使用了标称的同步器参数。

数字8.显示了两个从属神经元的同步误差。注意到同步器方法可以将同步误差降至零。相应的耦合输入表现出轻微的振荡并快速收敛到平坦的斜坡。然后，我们可以证明所提出的同步方法可以应用于多个神经元。

5.结论

本文介绍了一种神经系统同步的鲁棒方法。使用主从配置，我们通过对模型不确定性的集总、估计和补偿提供鲁棒性能力。通过同步方法计算耦合函数只使用膜电位，并且只适用于神经元的膜电位，类似于电间隙连接的强度。利用非奇异摄动系统的稳定性参数分析了系统的同步动力学。在两个神经元系统的基准模型上进行了深入的数值仿真，验证了所提出的同步方法的性能。此外，由于我们的方法使用了最小的模型信息，所提出的方法可以用于更复杂和多神经元系统的同步。我们的研究旨在帮助理解影响单个神经元同步化的两个过程以及耦合神经元同步化活动在神经和精神障碍中的功能作用。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

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