基于仿射变换、Frobenius和规范

摘要

本文提出了一种有效的鲁棒性方法，对一组线性相关数据进行图像对齐和恢复规范。最流行和最成功的方法是在稀疏损坏存在下将强大的PCA问题模拟为低级矩阵恢复问题。现有的算法仍然缺乏处理异常值和稀疏声音对图像对准和恢复的潜在影响。因此，新算法通过使用仿射变换和Frobenius的新颖思想来解决异常值和重稀疏噪声的潜在影响。规范。为了达到这个目的，仿射变换和Frobenius规范纳入分解过程中。因此，新算法对错误，异常值和闭塞更有弹性。为了解决所涉及的凸优化，还考虑了交替的迭代过程来缓解复杂性。对脸部图像的恢复进行模拟，手写的数字展示了与主要的最先进的工作相比的新方法的有效性。

1.介绍

图像对准及复原[1]发现了各种领域的应用，如医学成像，无线传感器网络，监控，批量图像去噪和计算成像。图像恢复也可以用于背景提取中，其中低秩分量对应于背景，稀疏分量捕获前景。然而，这个问题面临着一些严重的挑战，如照明变化，闭塞，异常值和稀疏漏洞。因此，重要的是开发强大的图像恢复算法以解决上述不利影响。

已经报道了各种算法用于图像对齐和恢复问题。例如，Peng等人。[2]考虑了一种用于稀疏和低秩分解（RASL）的强大算法，以消除异常值和损坏和闭塞所产生的潜在影响，但在异常值和稀疏噪声的潜在影响很大时仍然缺乏表现良好。在大量图像中。解决这个问题，likassa等。[3.通过将仿射转换与等级的归档事先信息，通过促进算法的性能来解决修改的RASL。Ebadi和Izquierdo [4.[通过使用图像恢复的一些近似，提出了有效的鲁棒主成分分析。但是，它们没有潜力可以消除异常值在大数据中的影响。解决了一个强大的主成分分析（RPCA）算法在[5.]基于凸面的程序，尽管稀疏误差仍有保证恢复低秩矩阵;然而，已知现有的RPCA方法非常脆弱到总损坏的存在。解决这个困境，陈等人。[6.[]提出了一种非凸加二次惩罚低秩稀疏分解(NQLSD)方法来拟合低秩模型，然后使用鲁棒拟合函数来减少腐败和遮挡对图像对齐的影响。Song等人[7.]解决了一种在线强大的图像对准方法，该方法包括几何变换，它通过翘曲更新直接线性化，并采用闭合形式解决方案和随机梯度下降更新方案的优点，这对应于在解决性能问题之外的有效逆组合算法Wu等人面临的图像对齐。[8.］．刘等。[9.]考虑了基于凸面程序的修改算法，以减轻子空间聚类问题，保证能够精确地恢复原始数据的行空间，并以有效且有效的方式执行鲁棒子空间聚类和错误校正。哦等人。[10.]提出了使用奇异值（PSSV）的部分和一个有效的算法，而不是核范数来恢复图像。这种新方法，通过修改目标函数，保证更好的低等级和收敛性，即使观察人数很小，对异常值更加强大。当观察总数大时，这种方法缺乏表现良好。他。[11.]考虑了一种类似的凸松弛算法，有效地保证。尽管存在几种RPCA算法来处理异常值和稀疏噪声的潜在影响，但需要开发有效和高效的算法。为了减轻这个问题，[12.那13.开发了健壮的算法，能够很好地处理严重损坏的数据。然而，在图像特征提取、恢复和对齐等高维情况下，它缺乏较好的性能和较低的计算复杂度。

在本文中，我们提出了一种用于通过仿射变换，Frobenius标准的图像恢复和对准的新颖稳健算法规范。为了稳健地免于诸如闭塞，异常值和稀疏漏洞的杂项不利影响，新算法将仿射变换与低级别加稀疏分解集成，其中低秩分量位于不相交的子空间的联合中，因此扭曲或扭曲可以纠正未对齐的图像以使更忠实的图像表示。但是，灵感来自[2那14.，一个额外的概念Frobenius规范和Norm现在被纳入到分解过程中，以便对图像恢复中的错误、异常值和遮挡更有弹性。因此，我们算法在分解过程中需要迭代更新的参数与[中的参数不同。2那6.那10.］．除此之外常态和Frobenius标准，享有优势和通常用于在图像上移除相关的样本，使得新方法能够更具弹性到异常值和图像的大变化。涉及的变量和仿射变换的确定作为凸优化问题。因此，可以通过仿射变换，Frobenius规范和扭曲的图像来整流变形或未对准的图像渲染更准确的图像分解的规范。

仿射变换与低级别加稀疏表示聚合，其中低秩分量位于子空间的联合而不是一个子空间。这些变换可以在批量损坏的图像中修复失真或错位，以呈现更忠实的图像分解，从而对稀疏稀疏误差和异常值更加稳健。由于图像中可能发生大错误，这将影响图像恢复的准确性，因此规范是利用的。与仿射变换相结合的这种新规范可以进一步提高性能。这用于规范异常值的不利影响和大数据中的稀疏噪声。搜索最佳参数和仿射变换是首先作为凸优化编程的。然后，采用交替方向方法（ADMM）方法，并建立新开发和修改的等式集以更新涉及的参数和仿射变换。进行了仿真表明，新算法在某些公共数据集上的图像对齐和恢复方面擅长最先进的工作。本文的主要贡献包括以下内容：（1）仿射转换结合在新模型中以修复扭曲或未对齐的图像，以便具有稀疏误差和异常值的强大（2）使用ADMM方法来解决新的凸优化问题，并且开发了一组更新方程来迭代解决这个问题（3）在新的方法中，采用了一组仿射变换和Frobenius和规范被认为是为了提高新方法的性能（4）针对高线性相关数据，提出了一种改进的基于凸规划的RASL算法，该算法通过在分解过程中添加额外项，利用部分列低秩作为先验信息来剔除遮挡和光照（5）据作者所知，在该分解过程中，首次尝试了改进的鲁棒图像对齐稀疏低秩分解，以解决在人脸识别、视频监控和医疗保健等更广泛应用中的图像对齐问题（6）为了解决凸优化的问题，解决了替代迭代过程，以降低复杂性，同时增强图像对齐问题中的恢复性能

2.相关作品

在图像对齐和秩最小化图像恢复方面已经进行了大量的研究。例如，Waters等人[15.]通过仿射等级最小化提出了一种新的贪婪算法，以修复稀疏误差的潜在影响。lia和fang [16.[通过明确地考虑到空间变化的照明乘法的问题，用低位多项式的误差偏置因子来建议图像对准方法。但是，当存在严重的异常值和数据中的稀疏错误时，它不起作用。

放宽标准核标准，古等人。[17.]解决了重量核规范最小化问题，其自适应地将权重分配给不同的奇异值，可以最小化最终排名。此外，康等。[18.]提出了一种非凸秩近似，以进一步减少秩。为了解决高估军衔的困境，[19.那20.]建议将原始图像分解成两个宽组件的RPCA算法。likassa等人。[12.那13.]考虑了一种新颖的算法来解决未对准困境，旨在从发光数据找到低秩分量。哦等人。[21.]呈现了一种等级最小化算法，它同时对准低输入动态变化图像并检测异常值。提高[21.， Erichson等。22.]通过等级最小化分解后，解决了用于在分解后找到低秩零件的随机算法。Podosinnikova等。[23.]开发了一种鲁棒的主成分分析来最小化重构误差。Shahid等人[24.]通过添加一些正则化项来涉及RPCA谱图。Shakeri和Zhang [25.]提出了一个在线顺序框架，通过修剪稀疏损坏来找到干净的部分。胡等人。[26.通过低级正则化介绍矩阵的低秩假设的近似，以解决面部图像去噪问题。Wright等人。[5.]提出了一种基于低秩和稀疏误差的RPCA图像分解方法;然而，它缺乏可伸缩性。康等人[18.]通过非凸秩近似地解决了一种鲁棒方法。张和莱曼[27.[Rahmani和Atia [28.]解决了强大的子空间恢复，以解决恼人效果的影响。然而，当数据中的异常值和稀疏噪声沉重时，它的复杂性受到损害。[29.那30.]解决了一个强大的子空间学习和RPCA，排名最小化，以解决遮挡，照明，异常值和稀疏漏洞的潜在影响。尚等人。[31利用核杂交规范的双重核规范，提出了一种新的排名最小化的新方法，以减轻不利困境。

还提出了广泛的方法来解决低秩子空间分解问题。张和杨[32]通过低秩分解解决了线性子空间聚类方法。赵等人。[33]解决了稳健的判别低秩表示，以获得多个子空间结构。马等人。[34解决了从低维子空间拍摄了高信息数据中的信息的广义算法。Lerman和Maunu [35]解决了子空间恢复方法，从大数据获取低级别部分。刘等。[9.]解决了图像的表示，以确定从发光数据中的低秩结构。最近，Rao等人。[36[介绍了用于子空间分割的压缩传感技术。Elhamifar和Vidal [37研究了稀疏子空间滤波(SSC)方法减少(5.来表示权重和矩阵，称为亲和关系。子空间分割是通过子空间聚类方法实现的，例如[38]和子空间群集[39］．然而，它们对遮挡和光照的抵抗能力并不强。为了解决这些问题，Li等人[40]通过损坏样本和学习子空间表示的联合对准提出了一种转换依赖性方法。Shen等人。[41提出了一种基于字典追踪的子空间聚类方法，降低了算法的复杂度，并取得了满意的性能。Wu et al. [42建议依赖于新方法的分解，以减轻运动分割中噪声的潜在影响。李等人。[43将原始图像考虑为基于三维的张量;然而，由于失真，存在一个严重的问题。然而，这是非常耗时的。丁和付[44]通过子空间信息处理多视图方法，通过低秩得到干净的低维，这些方法不受高维数据损坏的子空间的影响。

3.问题制定

给定一组良好的图像线性相关的同一物体的和表示每个图像的权重和高度。更准确地说，如果我们让vec:表示选择一个的操作员像素的兴趣区域 从图像和堆叠它作为向量，我们可以创建一个矩阵这是一个低秩矩阵。如果图像由于局部腐蚀和遮挡而发生偏移，这种误差通常发生在图像的小区域，并且有任意大的幅度;这些误差可以建模为稀疏误差，用表示 ．为了解决错位问题，我们使用域转换 ．变换图像可以以以下矩阵的形式构造： 那在哪里 那是一个良好的图像版本和运营商表示转换[2］．的解决方案是由于?的非线性和复杂依赖性而难以处理的在转换 ．这可以通过线性化关于当前的估计来解决当变化时是小2那6.那45］．为了参数数和 那我们可以写 那在哪里 表示的雅可比矩阵关于变换的图像和表示标准基础满足。

每个仿射转型可以用向量表示参数，屈服 ．具体来说，如果初始转换众所周知，我们可以改变 ．这使得我们可以将问题简化为下面我们所寻求的凸优化问题 那 那和通过纳入新的仿射转换和毛绒植物和规范。

为了使新方法对异常值和重稀疏噪声更有弹性标准，结合了这些优点L.₁和L.₂标准，在这里使用。这正则化器被认为是L.₁并能有效处理异常值[46］．此外，如[13.那47),规则器还可以实现更好的稀疏促销L.₁规范。这L.₁规范可以产生偏置估计，因为它忽略了极端值并且无法处理特征的共同性。相比之下，Norm比the更稳定，有能力更好地保存空间信息L.₁正则化器，如[13.那47］．此外，这是当信号不是稀疏或矩阵不严格低等级时，规范常量优于非耦合规范[48那49］．因此，整体问题可以发布作为优化问题 在哪里表示原始数据矩阵，是低级别的组成部分为稀疏误差矩阵。这规范的用来表示 ．为了解决约束的非线性问题由于复杂的依赖而产生的在转换 那以算法总结了线性化程序1， [2］．

4.提出的算法

解决约束优化问题（1），我们使用了增强拉格朗日乘数[2那50，通过最小化增广拉格朗日函数来迭代估计拉格朗日乘子和最优解。ADMM方法的基本思想[51就是寻找增广拉格朗日函数的鞍点，而不是直接求解原约束优化问题。 为了简单起见，我们表示在哪里 那其中 那 是一个拉格朗日乘法器矩阵，是一个积极的惩罚参数，为矩阵内积，和是Frobenius准则。直接解决(2)在第一次迭代中是困难的，因此在[2那50[我们以交替的方式迭代地解决问题。在增强拉格朗日乘法器方法中，增强拉格朗日函数中的未知数逐一最小化。

首先，更新在 （3.），我们解决所有问题 那 那和作为常数。很难直接解决上述功能，因此我们选择大致通过采用交替策略来最小化增强拉格朗日功能：最小化仅针对四个未知数中的一个函数 那 那 那和Z.一次：

我们注意到(3.)是完全可分离的，涉及求解一个凸规划。因此,以下(31那52-54]及使用[55]并且可以使用增强拉格朗日乘数可以有效解决的软阈值操作员的概念，更新可以给出

所以，可以由

同样，通过忽略所有不相关的术语 那它可以被简化为

通过使用lemma [56]，更新列的 那 那是由 在哪里表示欧几里得范数 ．

最后，我们需要更新 那所以我们必须保留所有其他参数（8.）作为常数并采用增强拉格朗日乘数以下内容：

更新参数在 （8.），我们保留所有其他参数常数以获得所需参数的最佳解决方案。通过应用增强拉格朗日函数和奇异值阈值，我们可以获得最终更新如下： 在哪里表示Moore-Penrose伪 ．

拉格朗日乘法器通过使用以下等式更新：

为方便参考优化参数的更新，算法2总结了。

5.模拟和讨论

本节进行了一些模拟，以证明我们的方法对人脸图像和手写数字的恢复的有效性。采用了四个基线，包括RASL [2], NQLSD [6.], PSSV [10.]和mrasl [3.］．首先，我们强调了在从高度线性相关数据中检查闭塞和照明的目的地，检查我们的新提出方法的有效性。其次，我们进一步通过相似性统计测量来定量地检查图像相似度，以描述我们的算法的性能，主要是峰值信噪比。这可以使用峰值信噪比（ ）[57]，被定义为 原始图像的地方和恢复的图像是尺寸的 ．

数据集．要实现新方法，我们考虑了从Minst数据库中拍摄的两个不同的公共数据集手写数字[58从野外数据库中拍摄的虚拟脸图像[59］．

5.1。面部图像恢复对齐

首先，我们考虑包含30个尺寸的脸部图像的数据集从野外围栏中扰乱和闭塞的虚拟头部拍摄的100图像[59］．这些是具有不受控制的未对准的现实世界的面部图像，在不同的照明下。数字1基于我们的算法和其他三个基线显示恢复的图像。再次作为例证，在图中给出了基于所提出的方法和上述基线的一些恢复的伪图像1，其中具有不同损坏的假人面部图像在图中描绘1（a）．上述算法恢复的图像如图所示1（b）-1（e），我们可以看到所提出的方法的视觉质量优于所有基准。这与表中的数值结果一致1．从图中可以看出1与其他三个基线相比，新方法提供了更清晰的视觉质量。这证明了我们的新算法从高度线性相关的数据中去除扰动、遮挡和照明数据的有效性。

5.2。手写的数字图像恢复对齐

接下来，我们在手写数字上进行仿真。30.使用MINST数据库中“3”的图像验证算法的有效性。基于该方法性能的仿真结果如图所示2（f）与其他基线一起在图中给出2（b）-2（e）．由于在图像恢复过程中增加了一项以偏列低秩的形式作为秩先验信息，使得该方法的恢复效果优于以往的方法。描述了四种不同方法的低秩组件，并与原方法进行了比较。我们的方法优于NQLSD、PSSV和RASL，在图中所示的恢复图像的结果表明了我们的方法的有效性2．这也是合理的，作为说明，一些基于上述方法恢复的手写数字的视觉图像如图所示2（f），我们可以看到所提出的方法提供更好的对准并与其他四个基线相比更好地恢复损坏的手写图像。如图所示2（e），恢复的手写图像通过正确删除异常值和稀疏噪声等不利影响，提供更清晰的视觉质量。这与表中的结果一致1并进一步证明该方法对异常值和强稀疏噪声具有更强的适应性。为了进一步验证我们的方法的性能，我们还比较了上述方法的PSNRs，如表所示1，我们可以发现新算法确实提供了与其他三个基线相比最大的PSNR。

我们可以观察到，通过以仿射变换和Frobenius和L2,1规范的形式增加额外的术语，我们的方法达到了与[中提出的方法相比的较大平均PSNR。2那3.那6.那10.，表示图像恢复更好，并具有消除错误的能力。相对而言，在模型中加入以部分列低秩形式的新项作为秩先验信息，得到的峰值信噪比均值优于其他三个基线，提高了算法的性能。我们的方法的优点是它获得了更稳定的图像恢复估计，对误差、异常值和遮挡更有鲁棒性。

6。结论

在本工作中，我们考虑了一种新的算法，鲁棒图像对齐和恢复的秩最小化通过Frobenius和规范。仿射变换的研究Frobenius和在优化制剂中考虑了规范，作为凸起约束的优化问题。然后，这用于通过纠正扭曲的图像来缓解烦恼效果的潜在影响。然后采用ADMM方法，建立新的一组方程，以替代地更新优化参数和仿射变换。此外，也仔细审查了这些新更新方程的收敛。进行了模拟表明，在五个公共数据库的精度方面，新方法比其他方法更好地执行。

数据可用性

本文中使用的数据可供用户自由使用。

利益冲突

作者声明不存在利益冲突。

参考

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