抽象性

等一等 求热方程求解时使用空间色噪声研究过程实现电源变换 ,时间上无限二次变异 依赖维度高斯无损分布内核和光谱/调和分析产生时中定理这项工作以最近对Gaussian通用过程和SHEs由时空白噪驱动变的精密分析工作为基础。

开工导 言

在整个工作过程中,我们将考虑以下各点 -维随机热方程 带 高斯时色噪声 .噪声 假设有特定同差结构(见[见一号: 去哪儿 带 .初始条件 ,并绑定 -霍夫尔德连续并假设 持续Lipschitz并存 中位数 并 .存储式PDEs类一号)研究一号-6和别方

已知信息(见[见一号,7-10)一号接受独特温和解法 ,微小解法被解读为解析法 For ,上方积分为Wiener积分 (见,例如,[2定义)和 绿色内核热方程

贝兹德克11调查概率聚合弱一号中) .显示概率测量匹配 微弱归结到那些对应 解决she时白噪 ,即解法一号)从适当意义归结同方程求解,但用白噪声 代之以彩色噪声 原封 .通过它,我们指解决 去哪儿 表示白噪声SPDEs类6)研究一号,2,7,10,12,13和别方

图多和萧14调查流程迭代对数的完全一致性和局部性延续式和钟型定律 时间性即线性SHE解析法 由分片噪声驱动 与相关空间结构斯旺森13显示解决方案shes in6带) ,时间无限二次变异,非半数性并调查中心限定理修改shes白噪求解之二次变异Pospl和Tribe12调查SHEs解决方案的二次变换6带) ,时间上高斯无药分发Swanson启发13和Pospil和Tribe12.......一号带色噪声时有无限二次变异和高斯无药分发

面向 ,华府 -动能变换进程 ,分治 联想 ,定义为和

简单化,从现在开始考虑案例 ,For 并 .在这次工作中,我们希望指出一些有趣的现象 解决带色噪声的SHE事实中,我们也会下降绝对值 奇数)更确切地说,我们将考虑 去哪儿 表示增量 .

无药行为分析类型8)动机,例如研究由Brownian运动驱动的标量微分方程某些近似求和率 (见,例如,[15-17等式变换对参数估计问题的传统应用

现在,让我们回顾一些已知结果 -功率变换 )或多或少为经典第一假设 标准BM等一等 表示表示 -标准高斯随机变量 法律即 并 面向所有 .BM缩放属性使用CLT即时使用17]), as :

假设这一点 ,即分片Brownian运动 无独立增量接下去九九Corcuera等扩展[15努尔丁17多布鲁辛和少校18号qqu19号preuer和major20码giraitissss21号王22号和王和王23号..斯旺森13扩展九九修改SHE用时白噪驱动的方位变换驱动者九九中显示九九均值和差值不同也支持用彩色噪声解决SHE

证据基础Swanson法13..皮尔逊和Young两个变量正常相关面中各种顺序的产物片段24码确定进程实现电量变异精确趋同率 时间关系这项工作以最近对Gaussian通用过程和SHEs由时空白噪驱动变的精密分析工作为基础。

二叉结果

为了说明结果,我们先介绍一些符号等一等 ,去哪儿 固定式列曼离散定时分区 ,去哪儿 .等一等 并 .面向任 并 ,定义

和续集 表示整数满足 For .

等一等 .面向 ,let .实数 ,定义性 .取自44号)下方 正数有限常量依存 ,并 .面向任 ,我们放 去哪儿 去哪儿 , ,即伽马函数

先显示实现电量变换过程精确归并率 .

定理一修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)然后,为每一固定 和任何 , 原封 趋向无限性

by13内存电流变异概率归并 .

轮廓2修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)然后,为每一固定 和任何 , 内 概率为 趋向无限性

注释3自 单调式14)暗示 统一概率并发时间间隔 带点 .况且14表示过程 无限四边形变异

实例4if 并 ,4-th变异,即 内14右手边对应常量14公元前 .
CLT实现电量变换过程 显示如下。

定理2修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)之后 任选 , 原封 趋向无限性 BM独立于进程 ,并发空间 配有Skorokhod地形学

备注6比较15)和(b)九九),我们有实现电流变换过程 For 高斯无药用属性与BM相似
整篇论文均用正数定数编号C级_2,1,C级_二二.或C级_3,1,C级₃₂..

3级证明

3.1.初创性

下方乘积二维方程正常相关面数分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解分解九九)和(b)12皮尔逊和杨24码..

莱马7假设 ,去哪儿 .接下去

并发函数和增量差函数 .

Lemma8修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)之后,为大家 , 并 去哪儿 表示内12)

证明由提议2.3图多10........17)与 取下积分公式(见第23页Cololory25码: 常量 变迁 ibjective12和增产17)
方程分解18号引自Tudor定理2.210..保留显示19号)to显示19号中定义以下定线进程 通过 注意 并 可表示为 上下文 .立即实现 ,个人分解如下: 去哪儿 与图多和萧定理一证明同行14.... , 表示出 温和非负性测量 .等一等 表示Fourier函数变换 并 Riesz内核定义3)之后 任选 (见,例如,[10,14]), 取自28码)为任选 , 自 面向所有 ,人为人 并 , by21号)为任选 , 组合式29)和(b)31号),i 取自推理29)该 并发27号)和(b)32码)增产19号)Lemma8证明完成

3.2定理一证明

证明定理一足以证明13平面 自奇例 案例可以证明相似性面向 ,定义性 .注意随机变量 后继a 法学院 by16)和(b)34号),i 取自18号)该 by19号),36号Lagrange平均值定理 并 , 注意自 ,上头有 .正因如此 取自37号) )并38号)该 正因如此 取自17)该 简洁化 去哪儿 .通过二进制扩展 并 , if we write ,去哪儿 ,接二连三 ,Lagrange平均值定理 偏偏 .产生所有 , 并因此为任何人 , 带点 原封 .
注意自 ,上头有 备注44号提供 并 面向所有 .by36号)和(b)46号),为每一个 并 , 偏向零 自 .
我们现在考虑术语 内43号)等一等 FBM索引 ,中心高斯进程 For .后为 , 正因如此 增产 by36号)和(b)44号),为每一个 和任何 , 并发45码)增产 偏向零 .
by37号) )高山市36号), and (48号),为每一个 , 偏向零 自 .正因如此 , 相似地,对每一个 , 面向每一个 和任何 , 原封 并 .
注意对每一个 并 , by54号)–(57号),为每一个 , 原封 并 .取自36号)该 并发43号),47), and (58码) 增产 , by35码),40码), and (60码),i 本证明13)定理一证明完成

证明滚动式2.写入 很显然,第三学期62偏向零 .取自37号) )并38号第二学期62偏向零 .by13) 本证明14)

3cm3定理2证明

mma证明定理2.

莱马9等一等 正常随机变量平均值为0 并 .贴上 .之后 任选 , 随时 .况且

此外,还存在 中位数 随时 面向所有 .

证明沿袭斯旺森Lemma3.3证明13带 , ,we get Lemma九九即刻

提议10修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)修复 .贴上

之后,为大家 并全部 ,

顺序排列 相对紧凑 skorokhod空间 .

证明我们遵循Swanson建议3.5法13证明68号)等一等 .面向 并 ,定义性 并让 .定义性 ,并 ,let .进一步定义 并 ,中位函数表示中位函数面向 ,定义性 观察点 和那 等一等 并 接下去 by42号)和(b)44号)面向所有 , 取自36号)和(b)74号)该 假设 .修复 并让 任意性if ,并发 .if ,并发 .任选中任选65码),36号),73号), and (75),i if ,并发 并 .by64码),36号),73号), and (75) 现在选择 中位数 .带 提供 由判定 .因为有两种可能性 并 可能性 , .正因如此 二次汇总假设 .本案中 ,并发 ,ibject66号),36号),73号), and (75) 自 并 ,上头有 正因如此使用70码),71号),78号), and (80),i 算法68号)
显示进程序列 相对紧凑,足以显示 ,常量存在 , ,并 中位数 面向所有 ,全部 ,并全部 (见,例如定理3.8.8 in26))取用 并使用68号和Hölder不平等提供 if ,右侧的不平等度为零假设 .接下去 下位因子相似绑定 .

提案11修复 并 并假设 .假设这一点 并 内一号)之后 任选 并 , 原封 ,去哪儿 标准随机变量

证明等一等 任自然数序列证明存在子序列 中位数 定律归并给定随机变量
面向每个 ,选择 中位数 并 .等一等 .面向 ,定义性 ,e 现在让我们介绍过滤 去哪儿 表示 Lebesgue测量 .等一等 .面向每一对 中位数 ,定义性 注意 华府市 -可测量独立 .回想 并给定常量 ,上头有 取自89)和(b)90)该 出产量 法例与法例相同 .
立即定义 并 e , ,自主并 去哪儿 自 并 自主性 并发19号)提供 自 高斯市34号)和(b)96) 备注34号)和(b)36号)给 并 .Lagrange平均值定理 by97和Hölder不平等 相近推送96和拉格朗平均值定理 by99),百元和Hölder不平等 自 ,本项提供 自 选择此 ,上头有 并 内 并概率by93)只需显示 以完成证明
使用Lindeberg-Feller定理27号中写道: ,let ,独立随机变量带 .假设(a) .(b)面向所有 , .接下去 原封 .
验证条件 回想 并 法律不变 by68号) Jensen不平等提供 ,通过转入子序列,人们可以假设 (a) 支持部分 .
For(b),let 任意性接下去 偏向零 .
故此推论 原封 并保留只是为了显示 .观察持续映射定理意味着 .通过Skorokhod表示定理,人们可以假设趋同为as通过建议10家庭 均匀不可变正因如此 内 ,意指 .取定理一号, ,苏市市 证明完全

证明足以证明15平面 自奇例 案例可以证明相似性等一等 任自然数序列通过建议10中排序 相对紧凑并存子序列 并发进程 中位数 .修复 .与建议中的表示法11... 定义 与证据11 概率化故此推论 注意 并 自主性正因如此 , 并 自主性,这意味着 并 自主性产生过程 独立增量
通过建议11增量 通常分布均值为零和差 .临Τ 自 面向所有 .正因如此 法律上等同 ,去哪儿 标准BM保留只是为了显示 并 自主性
修复 .等一等 并 .很容易看到 不可逆数因此,人们可以定义向量 通过 ,并 .等一等 ,e 并 自主性
定义性 接下去 by34号)二进制扩展 和Hölder不平等 备注bj36号和Hölder不平等 面向所有 并 ,并注前17和拉格朗平均值定理 并 , 去哪儿 .之后 任选 并 , 偏向零 自 .正因如此 自 并 自主性,此提供 并 自主性
我们现在可以完成证明备注bj37号)和(b)38号) 完成证明

数据可用性

支持本研究发现的数据可应请求从相关作者处获取。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突

感知感知

这项研究得到了浙江省国家自然科学基金会(LY20A010020)和中国国家自然科学基金会(11671115)的支持。