抽象性

研究求解公式 并研究异差方程行为 并 带实名参数和正数参数显示二方程有周期性解决方案 .最后,我们举几个例子说明问题。

开工导 言

中一号-5),第一作者一号和Kamal一起解决并研究差分方程解决方案 去哪儿 ,带实名参数和正数参数

中6作者探索差分方程的动态 去哪儿 并 正数实数提供方程解析 , , ,并 .

通过过去几十年的广泛应用 差分方程转换为主要研究领域多本书通过非线性方程定性行为处理差分方程7-11))

非线性差的闭合式解决办法除少数方程外无法使用(例如见[见6,7,10,12-26))中27号作者研究两个递归方程 带实名参数和正数参数提供两种方程求解 .

驱动者27号............................. 待解决............... 正实值 )全局行为可接受方程解决方案3)和(b)4)在哪里 正数和实数 , , , 非零实数

if we set 后方程3)和(b)4归为

二叉差分方程

本节中,我们猜想 去哪儿

2.1.求解方程6)

显示变换

方程分解6归来

通过解析方程11并计算后方程解析法6可获取性

定理一假设 可接受方程解法6)方程解析法6)是 去哪儿 并

证明可写解法12)as 证明使用数学感应 .
何时 , 假设等同性14)真实性 .
接下去 可看得见 接下去 正因如此 类似地,我们可以获取 并 .
完全证明

求方程6),很明显 并 ,并发 未定义 。等一等 并 ,并发 未定义 。并,如果 并 ,并发 未定义 。if 并 ,并发 未定义 。

表示点 带 归禁点方程6)

定理2方程分解6)有禁止集

2.2.全局动态方程6)

在此,我们演示全局行为结果并提供实例

定理3假设这一点 可接受方程解法6)接下按住(1)if ,后求解 归零(2)if ,后求解 二周期求解3级if ,后求解 无约束性

证明我们可以写作 .(1)if ,并发 .顺理成章 并 原封 .正因如此 归零(2)假设这一点 ,并发 .这就意味着 临Τ 类似地 使用公式14),我们可以写 去哪儿 .类似地,我们可以获取 For 条件 .结果通过注解获取 自始至终 ,上头有 3级if ,并发 .也就是说 原封 .临Τ , ,并 并发为零这就意味着 不受约束, .

实例1考虑解决办法 方程6)如此 , 高山市 )带初始值 , , ,并 .图一号显示解决方案 无约束性


图1
.

实例2考虑 方程6)如此 , 高山市 )带 , , ,并 .图2显示显示 归零


图2
.

实例3考虑 方程6)如此 , 高山市 )带 , , ,并 .图3显示显示 二级求和 去哪儿


图3
.

实例4考虑 方程6)如此 , 高山市 )带 , , ,并 .图4显示解决方案 二级求和 去哪儿


图4
.

3级差分方程

我们讨论方程解决方案行为7)变换10裁分方程7进递归方程

本节中,我们猜想

清除 并 根方程

3.1.案例处理

在此小节中,我们假设 .清除

本小节中,我们假设

定理4.假设这一点 可接受方程解法7时) 去哪儿 并

证明证据与定理证据相同一号并省略

定理5等一等 可接受解析递归方程7)接下按住(1)if ,人有以下特征:(a)if ,后求解 无约束性(b)if ,后求解 归零(2)if ,人有以下特征:(a)if ,后求解 归并有限限值(b)if ,后求解 归零3级if ,后求解 归零

证明我们可以写作 .(1)if ,或 或 .(a)if ,并发 .也就是说 原封 .这就意味着 , ,并 并发为零正因如此 无约束性(b)if ,并发 .也就是说 原封 .这就意味着 , ,并 无约束性正因如此 归零(2)假设 ,或 或 .(a)if ,并发 .顺理成章 原封 .这就意味着 接下去 去哪儿 类似地,我们可以显示 并 原封 .正因如此 交汇点 原封 .(b)if ,并发 .也就是说 原封 .这就意味着 , ,并 无约束性正因如此 归零3级if ,并发 .也就是说 原封 .这就意味着 , ,并 无约束性
正因如此 归零

实例5考虑 递归方程7)在哪里 , 高山市 并 )带 , , ,并 .图5显示无界解析 .


图5
.

实例6考虑 递归方程7)如此 , 高山市 )带 , , ,并 .图6显示显示 归零


图6
.

实例7考虑 递归方程7)如此 , 高山市 并 )带 , , ,并 .图7显示显示 交汇点 去哪儿


图7
.

实例8考虑 递归方程7)如此 , 高山市 并 )带 , , ,并 .图8显示解决方案 归零


图8
.
3.2案例处理

在此小节中,我们假设 .也就是说 .

定理6.假设这一点 可接受递归方程解法7)接下去 去哪儿 并

证明光看就足够 证据与定理相同一号并省略

定理7等一等 可接受解析递归方程7)接下按住(1)if ,后解决 归零(2)if ,并发 无约束性

证明清除 原封 , .(1)if ,并发 原封 .这就意味着解决办法 归零假设 .接下去 相似地 并 .正因如此 归零(2)if ,并发 原封 .接下去 通过应用医院规则,我们得到 相似地 并 .
正因如此 无约束性

实例9考虑 递归方程7)如此 , 高山市 并 )带 , , ,并 .图九九显示无约束解决方案 .


图9
.

实例10考虑 递归方程7)如此 , 高山市 并 )带 , , ,并 .图10显示显示 归零


图10
.
3cm3案例处理

后世,我们研究最后案例 .

本小节中,我们假设

也就是说

8定理等一等 可接受解析递归方程3)接下去 去哪儿 , , .

定理9假设这一点 可接受方程解法7)之后,我们有:(1)if ,后求解 归零(2)if ,后求解 无约束性

证明证据直接结果省略

定理10等一等 可接受解析递归方程7并让 .if 下图 )并发 周期有素数周期- .

证明使用公式50码),我们可以写 但是,对每一个 ,有 后为 ,有 类似地,我们可以显示 ,有 完全证明

实例11考虑 递归方程7带) , , ,并 .if 高山市 并 )并发 周期性素数 图解11)


图11
.

实例12考虑 递归方程7带) , , ,并 .if 高山市 并 )并发 周期有素数周期- 图解12)


图12
.
3.4.禁止设置

本小节提供禁止递归方程集7时间 , ,并 .

清除,if 并 ,并发 未定义 。if 并 ,并发 未定义 。if 并 ,并发 未定义 。if 并 ,并发 未定义

下结果表示禁止方程组7)所有值 并 .

定理11兹声明如下:(1)if ,后方程3)有禁止集 (2)if ,后方程3)有禁止集 3级if ,后方程3)有禁止集

数据可用性

本条使用的所有数据都包括在内,并相应引用所采用的源

利益冲突

撰文者声明,他们在发布本文方面不存在利益冲突问题。

感知感知

A.问题解析Khan研究部分得到巴基斯坦高等教育委员会支持