具有非理性自然频率的刚体的运动

抽象的

在本文中，我们考虑了刚性体具有频率不合理值的旋转运动的问题．导出了运动方程并简化为一个拟线性自治系统。这种系统可简化为发电系统。我们假设参数很大与足够小的组件成反比在转动惯量椭球的长轴或短轴周围假定的角速度。然后，利用大参数技术构造此类情况的周期解。该运动的几何解释是用欧拉角来描述物体的方向。利用数字四阶龙格-库塔方法，确定了所得到系统的数字解。用相图法研究了所得解的稳定性。数值解与解析解的比较表明了所提出的方法和方法的有效性。

1.介绍

质量的刚性体问题旋转绕固定点旋转根据均匀重力场中的固有频率值分类加速或牛顿力量。研究了自然频率的合理值的情况1对于一个围绕一个固定点以一个小速度围绕一个惯量椭球的一个轴转动的重固体。所得到的解包含了称为时的固有频率的奇异情况．似乎为自然频率值出现的奇异案例（盘盒）和在[2，3.]，分别。我们仍然为了研究四种情况，直到解决问题的解决方案到了任何自然频率的第三次近似。这些病例根据命名的自然频率值进行分类;除了三个单一案例之外，将来在Shaa Allah的未来除了三个单一案例之外，还将研究其基础的自然频率的状态。．

让框架固定在车身和框架里在空间里固定。假使，假设，，和表示物体在运动坐标系中的转动惯量。假设( ）是身体的质量中心。在这种情况下为无理数时，得到运动方程并简化为如下系统: 在哪里其中符号（ab）平均循环排列并指示省略的等式;和是 -分别的角速度向量的组件和空间的固定单元向量;和是一个常数，它取决于刚体参数。系统(1)有以下第一个积分: 在哪里，，和是依赖于刚体参数的常数，以及功能满足条件什么时候．

2.定期解决方案

在本节中，我们获得了（1)，然后在一个新的运动条件下求解。我们采用了一个大参数方法[1求解系统(1）在第一个积分的情况下（4)．通过将进入系统（1），我们将生成系统作为[4]这有一个期间的周期性解决方案．

在这种情况下，来自系统（1），具有一段时间的所需定期解决方案假设以下形式[5]：在哪里是任意常数和和是分析功能时消失．功能是一个分析功能时消失．功能和通过代替（5）进入（1）等同于类似的系数

功能可以用以下方式写入展开系列[6]：

使用等式（3.），定期条件如下获得[7]：

条件下（7）和系列（6），它产生了指定系数的无穷无尽的等式系统．功能和表示为[8]。

现在，我们的目标是找到广义系统的定期解决方案。根据 [9]，系列（6)的顺序不低于．它遵循的是扩展表示一个幂级数，其顺序不低于．在这种情况下，量和得到了。

介绍以下变量[10]：在哪里和是依赖于刚体参数的常数。载体和分别表示向下固定轴的角速度和单位矢量在空间中的分量，和，满足条件什么时候．

让足够小;我们定义了一个大参数并应用大参数法[3.]，得到幂级数展开形式的解析解如下：在哪里是依赖于刚体参数的常数，以及

修正了这个时期以表格获得

3.运动的几何解释

在本节中，我们在几何上讨论了问题，以在任何时间内展示身体的方向。替代方程（9）进入欧拉的角度，和其中已被替换，使用，我们获得了角度的以下表达式[11]：在哪里在哪里是一个常数，取决于转动惯量。

4.数字考虑因素

在本节中，我们研究了我们问题的分析和数值解决方案如下。

4.1。分析解决方案

我们重写分析解决方案以下列形式：

让步和，在哪里是变量的最大值吗．让我们介绍以下数据：

让身体参数成为

介绍以下计算机化符号：

使用上述数据和计算机程序，我们在图中获得分析解决方案（见图1和2)．

4．2.数值解

使用（18），我们重写系统（1）在表格中

使用第四阶runge-kutta方法[12]通过计算机程序和数据（16)和(17）通过分析解决方案的相同初始值，我们在图中获得了数值解（见图3.和4)．为了检查两种解决方案的准确性，我们绘制了图表（见图5和6)．我们在分析和数值解决方案之间找到了协议，这些解决方案满足了分析和数值技术的优异成果。获得的平滑简单曲线（见图7- - - - - -12）显示所获得的解决方案是稳定的[13，14]。

5.结论

在本节中，我们得出结论，刚体在均匀重力场中的运动的问题，其具有从先前作品中排除的自然频率的非理性值[1- - - - - -3.] 被认为。获得运动的运动方程及其第一积分在存在新的运动条件下，并减少到两种自由度的半线性自治系统和一个第一积分。我们假设一个大参数达到与角速度分量成反比它应该足够小。在这个假设下，著名的庞加莱方法[15]不能解决这个问题，因为我们不能实现必须与足够高的角速度分量成比例的小参数．因此，我们用大参数技术解决了问题。该方法的优点如下：在初始时刻而不是高能量的小能量，获得慢陀螺运动而不是快速陀螺运动，并在运动的新领域中提供分析和数值解决方案．并在新域内对这些解的周期进行了修正。得到了运动的几何解释。当，我们从等式获得（17)正则排列和纯旋转的情况。应用数值四阶龙格-库塔方法[12]通过计算机程序，我们发现此问题的数值解决方案。使用大参数技术并假设相同的初始值和数据（16)和(17)．我们获得解决方案及其图形表示的数值结果。结果通过图形表示的结果表明了用于获得所获得的解决方案的高精度的技术的优点。由于这些领域的陀螺仪广泛使用，这一问题在航空航天科学和技术中有许多应用[16]。这里使用的程序可用于解决复杂的问题，例如[17]在考虑参数的新领域。这可以通过反映问题参数来实现。在下一篇文章中，我们将研究固有频率值的剩余奇异情况，以完成问题的三次近似解。

数据可用性

数据共享不适用于本文，因为在当前的研究中没有生成或分析数据集。

利益冲突

作者宣布他没有竞争利益。

参考

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