浮动弹性板，水波和指数剪切电流之间的非线性水液相互作用

抽象的

浮动弹性板的非线性水液相互作用，深水波列车以及深度衰减的电流在分析中进行了分析。我们引入了一种流功能，以获得具有在流体动力学，剪切电流，弹性和惯性力之间的平衡的动态边界条件的控制方程。我们使用Dubreil-jacotin转换将未知的自由表面重构为计算中的固定位置。借助于同型分析方法（火腿）获得浮动板偏转的收敛分析序列溶液。详细讨论剪切电流的效果。结果发现，随着相对电流中的涡度参数的增加，相位速度降低，而相速度随着辅助电流中的涡流参数的增加而增加。较大的涡度倾向于增加水平速度。在相对的电流中，波峰下的水平速度随着波浪在波槽下的波的深度增加而延迟的水平速度更快，而在辅助电流壳体中，存在相反的效果。此外，较大的涡度可以锐化液体波动波峰并将槽平滑在相反的电流上，同时它产生对辅助电流的相反影响。

1.介绍

浮动可变形板和水流之间的液态加强相互作用是在利用海洋资源利用和利用海上空间的快速增长的需求下是一项长期和热门问题。例如，液压弹性相互作用已经成为设计非常大的浮动结构（VLF）作为存储设施，移动海上基地，甚至飞机机场的不可或缺的因素，这也可用于分析极地区域的浮冰，与空气缓冲车辆和海洋气候进行破冰。

浮动弹性板与水波之间的非线性水液相互作用理论存在广泛的文献。大多数相关研究都在假设中，海洋环境中没有目前的目前，例如refs。[1-6.]。事实上，有各种原因如风，热，地球旋转，潮汐效应，水盐度的垂直变化，以及经常产生海洋电流的温度。一些作者认为，在电流上传播的液体波动波的问题。Schulkes等人。[7.首先用边界条件建立了控制方程，以研究均匀流动在浮冰板上的底层水中的效果。结果发现，具有恒定速度的流动略微在非常短的波长下略微对抗，并且冰轮廓不再与源速度对准但是通过角度旋转。Bhattacharjee和Sahoo [8.在线性化理论的假设下，分析了由于浮动弹性板而产生的电流和弯曲重力波之间的相互作用，并详细研究了弯曲重力波的电流对波长，相速度和群速度的影响。Bhattacharjee和Sahoo [9.]延长他们的研究[8.通过在静态弯曲重力的点和衍生的渐近凹陷处产生由初始紊乱产生的弯曲重力波，通过应用静止阶段的方法来实现瞬态弯曲重力。Mohanty等人。[10.[通过使用固定相的方法，研究了在单层和双层流体的情况下均匀电流和压缩力对时间依赖性弯曲重力波动的组合效果，并通过使用固定相的方法来衍生一体的绿色功能和速度电位。。陆和杨[11.通过点负载在均匀电流中研究的不稳定水力弹性波，发现弯曲重力波运动取决于电流速度与相位或组速度的比率。Wang等人。[12.]考虑了由于浮动弹性板在底层均匀电流中产生的非线性水力弹性波，并分析均匀电流对非线性液体波的影响。

所有上述文献都基于假设潜水在流体中是均匀的，因此忽略了涡流分布的影响。然而，在许多情况下，垂直方向上的当前速度大多是不均匀的并且出现涡流（例如，风驱动电流和潮流）。通过许多作者研究了具有线性剪切或恒定涡流电流的液体波动。Bhattacharjee和Sahoo [13.分析了线性剪切电流对线性化浅水理论的框架分析了弯曲重力波的效果，并基于节能保护的反射和透射系数和垂直变形的连续性冰盖。高等人。[14.[在深水极限的情况下，研究了在线性剪切电流存在的水力弹性孤立波，并且计算在无限深度的水上的孤立波，针对不同的涡度值和新的广义孤立波进行了不同。最近，Gao等人。[15.[在有限深度的水中进行液体液体波与托颈体流动中的线性剪切电流相互作用，并导出用于QuAmonogromic波动的非线性Schrodinger方程，并通过采用共形式来讨论来自NLS的非线性术语系数的各种行为映射技术。

注意到同型分析方法（火腿）[16.那17.[不依赖于任何小物理参数，已应用于分析非线性波电流交互的问题。程等人。[18.[通过使用火腿，研究了在稳定剪切电流上传播的周期深水波，通过使用火腿垂直分布，并分析了指数剪切电流的细节对波浪列车的影响。Cang等人。[19.延伸Cheng等人。的研究[18.通过引入测量后台剪切电流深度的新参数的新参数，以及深度参数对波相速度，速度轮廓和最大波高度的影响，对周期水波对周期水波的影响被给予。这些作品鼓励我们将火腿应用于浮动弹性板，水波和指数剪切电流之间的液压弹性相互作用的复杂非线性问题。

在这项工作中，我们的目标是获得由于电流中漂浮的弹性板而产生的非线性水力弹性波的准确分析近似，其在电流中衰减是令人垂直的深度。指数剪切电流对水力弹性波形轮廓，波相速度和水平速度分布的影响，并借助于火腿详细讨论。纸张的其余部分组织如下：在部分2，配制了浮动弹性板，水波和指数剪切电流的非线性水液相互作用的数学模型，并引入了杜巴尔 - 吉素蛋白转化以将原始移动边界问题重构成固定的。在部分3.，我们介绍了火腿框架中解决方案的方法和近似和迭代。在部分4.，示出了数值计算的结果和剪切电流的影响。最后，结论备注是在一节中给出的5.。

2.数学描述

考虑一种不可压缩的托件流量，但具有双重案例的旋转流体，我们选择笛卡尔坐标在其中 -轴与未受干扰的流体板接口一致，而 -轴垂直向上。浮动弹性板延伸到无限远 -轴。当存在行驶波时，我们使用移动坐标 消除流体板区域的时间，在哪里是波速。用于二维不可压缩液的质量守恒是 在哪里 是与波浪电流相互作用有关的运动 方向，是意思 -定向电流，波速由于坐标轴的翻译而出现为否定。我们介绍了一个流功能 那这完全满足了

将流函数替换为由LAMB衍生的控制方程[20.]，我们表示涡旋分布作为

在这里，我们用深度呈指数逐渐研究剪切电流衰减，并让 那在哪里是确定流体涡度强度的物理参数。什么时候 那电流在相同的波传播方向上移动，然后称为AIVE电流。什么时候 那电流称为相对电流，其在波传播的相对方向上移动[21.]。

深水中不透水的底部条件可以写成

假设流体与板坯之间没有空化，未知的流体板界面 是一个简化的。不损失一般性，运动边界条件 可以写成

未知流体板接口流线上的非线性动态边界条件描述为 在哪里是板水界面的压力，在流体板接口流线上的一个未知Bernoulli常数，是流体的均匀密度，和是引力加速度。

由于表面压力等于板的压力，我们将浮动弹性板模拟为线性Kirchhoff-Love Plate [5.]。 在板的弯曲刚度表示的情况下 随着年轻的模量 那恒定的厚度 那和泊松比板块分别。是单位长度的板块的质量，具有均匀的密度弹性板。替代方程（7.）进入等式（6.）产生动态边界条件的全形形式

很难直接解决上述等式（3.），（4.），（5.）， 和 （8.）边界条件（5.） 和 （8.）满足未知的流体板界面 。所以我们使用Dubreil-Jacotion转型[18.那19.那21.]转换笛卡尔坐标进入笛卡尔坐标在其中 -轴垂直向下点，然后，未知接口 重新重整为固定位置 那如图所示1。在这里，我们认为这一点 是一个定期的功能方向与第2期π。

为了清楚起见，我们介绍了以下无量纲数量 在哪里变量是无量纲的。通过杜巴里尔 - Jacotion转型和非潜能化（9.），方程式（3.），（8.）， 和 （4.）被重新制定为（省略后 ） 分别在哪里 和 是未知的常量，和 是已知的线性相位速度，没有任何背景电流。

3.基于火腿的分析方法

3.1。解决方案表达式

从物理观点来看，我们的液压弹性问题是由深水液体波动波动的火车，由于移动坐标而导致的均匀电流，以及深度衰减的剪切电流。在纯深水液体波动的情况下，定期波偏转可以表示 在哪里是衍生未知的系数[5.]。考虑涡流分布的剪切电流 那等式（10.）包含这个术语 那所以这是合适的 应该包含这个词 那在哪里是一个整数。随着剪切电流的液体波动波偏转仍然是周期性的方向，然后 还应该包含这个术语 。此外，由即将到来的坐标引起的均匀电流不会产生水力弹性波和电流之间的相互作用。所以我们考虑液体弹性波偏转的解决方案表达 在哪里是一个未知的系数才能得出。

根据解决方案表达（14.），我们可以构建水力弹性波偏转的初始估计 在哪里是一个未知的无量纲波高度才能派生[18.]。

3.2。变形方程式

我们构建了三个同态 那 那和 。这些同型同型均是由以下用于控制方程的零顺序变形方程（10.）和两个边界条件（11.） 和 （12.） 作为 分别与波高 在哪里 是嵌入参数。什么时候从0到1增加， 从其初始估计不断变化 到确切的解决方案 那 从初始估计中连续变形到确切的解决方案 那和来自至 。 是一个非零融合控制参数。基于治理方程（10.）和边界条件（11.），和是非线性运算符由 分别。

如果我们只选择唯一的线性术语 在等式中（10.）作为辅助线性运算符 那我们会得到一个解决方案 在电力系列中它不能满足不可渗透的底部条件（12.）。我们可以遵守解决方案表达（14.）根据物理考虑选择以下辅助线性运算符 在哪里 。

非线性边界条件（11.）不包含任何线性术语。在这里，我们仍然遵循解决方案表达式（14.）选择另一个辅助线性运算符 在哪里 。

扩展未知功能 和两个未知的常数和进入Maclaurin系列在 那 在哪里

我们替换这些系列（23.），（24.）， 和 （25.）进入零阶变形方程（16.） 和 （17.）分辨零阶变形方程倍 那然后划分它们 。环境 那我们可以获得未知函数的线性PDE（即，HAM中的高阶变形方程） 和未知的常数和 。为了使我们的公式关闭，我们考虑 涉及解决方案和波浪高度 。

3.3。最佳收敛控制参数

为确保基于HAM的系列解决方案的准确性，我们定义了总平方错误如下： 在哪里 在哪里是等式的残余平方误差（10.） 和 （11.）， 分别。 。在本文中，我们选择 。最佳收敛控制参数可以通过最小值获得在残余图中如图所示2

3.4。解决方案的迭代

替代液压弹性波偏转的初始估计（15.）进入高阶变形方程，我们可以通过使用Mathematica 8.0执行符号计算来从这些变形方程中获得每个订单分析解决方案。一，为未知函数的单位解决方案 从单级变形方程获取如下： 初始解决方案的和的仍然未知。我们使用关系（27.）对于波幅和垂直位移来确定和如下： 分别。一旦收敛控制参数和重要的物理参数 那 那 那和给出了，我们可以获得我们的卫生弹性问题的相应解决方案。如果我们通过利用高阶变形方程继续使用单级近似，则可以迭代地获取高阶近似。

4.结果分析

首先，我们说明了总平方剩余错误我们的解决方案几乎不同的订单与案 那 那 那 那 （即，维度  Pa), and 除非另有说明，否则以下用于计算这些数据以进行计算。如图所示2，我们发现了在等式（28.）首先减小，然后在间隔中增加[-1.0,0]。并作为订单增加，逐渐减少约-0.4。然后，最佳价值可以选择为-0.4。这说明我们的火腿系列解决方案是用于非线性氢源相互作用的准确性和会聚。

在壳体和槽中的板偏转 和 如图所示3（a）和3（b）， 分别。发现，对于给定的波高 那aideid指数剪切电流（ ）倾向于锐化嵴并使槽抚平，而相对的剪切电流（ ）有相反的效果。并且剪切电流对板变形的影响比在嵴上更为明显。这可能会解释为什么辅助指数剪切电流倾向于缩短最大波高，而相对的指数倾向于扩大它。

在图中4.，我们显示了相位速度的四阶分散关系 作为Vorticity参数的函数有几个给定波长 。和图5.显示相速度 作为波浪高度的函数有几个给定的vorticity参数 。发现，对于相对电流和辅助电流，波高的值增加波相速度，而相速随着相对电流的涡度参数的增加而降低，但相位速增加随着辅助电流中的涡度参数的增加。如图所示4.和5.，相速接近1何时非常小（线性波）和（没有电流）。证明我们的结果与深水中的分散关系兼容 [22.]从没有电流的液体化理论。

杨氏模量的效果如图所示6.，我们可以从中看到，对于相反的电流和辅助电流，相位速随着年轻的模量增加而增加。板厚的影响在相位速度研究过。数字7.表明更大增加相位速度，这类似于图中杨氏模量的效果6.。

数字8.显示水平速度配置文件 在辅助剪切电流中进行不同的涡流参数 。我们发现波浪嵴下方的水平速度在相同方向上，而当绝对值时，波浪槽下的水平速度从相同的方向变为相对的方向减少到约0.05。数字9.显示不同涡流参数的相反剪切电流中的水平速度曲线 。我们观察到波浪槽下方的水平速度处于相对的方向，而当值的值下波峰下的水平速度从相对的方向变为相同的方向减少到约0.05。如图所示8.和9.，我们观察到反对电流和辅助电流，更大倾向于增加水平速度 。此外，在相反的电流中，水平速度在波浪嵴下延迟更快增加比波浪下的波浪的增加，而在辅助电流情况下，我们观察到相反的效果。

5。结论

在这项工作中，我们涉及由于浮动弹性板而产生的非线性水力弹性波，其与剪切电流相互作用，该剪切电流与深度指数逐渐衰减。我们引入了一种流功能，以获得具有在流体动力学，剪切电流，弹性和惯性力之间的平衡的边界条件的控制方程。为了简化算法，我们通过杜巴尔 - 潮素转化将非线性边值问题从未知的自由表面转移到已知边界中。在火腿的框架中，我们考虑水力弹性波偏转的溶液表达为具有一组基本功能的系列基于物理观点。数值结果证明了我们的火腿基础分析解的有效性和收敛性，用于非线性水力弹性相互作用波电流共存流体。

详细考虑了一些重要的物理参数对板偏转，相位速度和水平速度分布的影响。我们发现更大的辅助剪切电流倾向于锐化嵴并使板偏转的槽平滑，而相对的剪切电流具有相反的效果，并且对板变形的相反和辅助电流都对槽具有更明显的影响而不是在冠上。

对于相对电流和辅助电流，波浪高度较大增加波相速度 那虽然辅助指数剪切电流倾向于增加波相速度，但相反的指数剪切电流往往会降低它。注意，我们的结果与深水中的色散关系与没有电流的线性化理论相容。

剪切电流下的水平速度呈相同方向，而速度的方向随着涡度参数的值而变化减少。但在相反电流的情况下，波峰下的水平速度更快地延迟比波浪槽下的波的增加，而在辅助电流情况下，存在相反的效果。这里获得的所有结果都可以帮助我们进一步了解浮动弹性板和真正的波浪电流之间的液态弹性相互作用。

数据可用性

在研究期间生成或使用的所有模型出现在提交的文章中。在研究期间生成或使用的所有代码可通过请求从相应的作者获得（Ping Wang，电子邮件：pingwang2003@126.com.）。

利益冲突

我们的手稿中没有任何利益冲突。作者本身可以单独编程名为Mathematica 8.0的符号计算软件，以获得此处考虑的PDE的近似分析解决方案。

致谢

该研究得到了山东省自然科学基金的财政基金，山东省ZR2017Ma014和中国国家自然科学基金的批准号51674149.青岛博士后应用研究项目号020022034也得到了承认。

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