具有大量多重性的图表的图表

摘要

让是一个简单的和无向图。的邻接矩阵的特征值被称为特征值 ．在本文中，我们描述的所有 -顶点的图形与多样性的特征值的一些和 ，分别。此外，作为主要结果的应用，我们给出了一个具有四个不同特征值的非正则图族。

1.介绍

这里考虑的所有图都是简单的、无向的和连通的。让是一个具有顶点集的图 ．该组顶点的所有邻居用来表示 ．两个相邻的顶点和通过标注 ．的邻接矩阵 的是一个实对称矩阵，并且 如果有一条边连接两个顶点和 ；否则, ．的特征值被称为特征值 ，记 ．邻接矩阵的秩的是什么级别的 ，写成 ．矩阵的秩也可以写成 ．一个独立的是这样在任何两个顶点之间都没有边缘。最大独立集合中的顶点数量被称为独立数 ，记 ．两个顶点之间的距离和 ，记 ，是最短路径的长度和 ．表示的直径 ，然后 ．让是特征值的多重性的曲线图的 ．

图的特征值的多重性一直是人们关注的问题。罗林森对这个话题进行了广泛的研究[1- - - - - -8］．让是的顺序的图用一个特征值 ．在[1，作者证明，如果 和 ，然后 与 ．这个上限被扩展到 与 （或等效， ）在[2］．图表满意 在[5］．在[3.，4，6- - - - - -8]中，作者研究了曲线图的在一些特殊的图类的特征值的重数。此外，丰塞卡[9]证明每当一个路径从图中去除的一个特征值的多重性之间的关系的许多。卜等。[10.]在特征值多环的单环图和树木上给出了两个上限。Wong等人。[11.改进了中树的正特征值多重性的上界。3.］．

注意，[1，2建立了对于不等于0或-1的特征值的多个。换句话说，特征值0和-1的多个不能容易界定。然后，研究图形的特征​​值为0和-1的多重性是有趣的。在这里，我们有兴趣使用大量多重性的特征值-1或0搜索图表。众所周知，特征值0的多重性被称为曲线图的无效，这已经集中研究。因此，可以将注意力与大量多的特征值-1支付给图表。更一般地，在本文中，我们研究了具有大量的一些特征值的图表，因为它们与少数不同特征值的图表有关，这已经被密集地研究了（见[12.- - - - - -18.]， 例如）。

表示集合中的所有的 -具有多重特征值的顶点连通图通过 ．以下是本文的主要结论。

定理1。让是的顺序的图 ，然后 如果并且只有是完全二部图与 ．

定理2。让是的顺序的图 ，然后 如果并且只有是完全三部图吗与 或图(见图1）有 和 ．

2.证明

在显示定理证明之前1和2我们首先提出一些已知的结果引理。

引理3（隔行扫描定理，[19.]）。对于一个实对称矩阵的订单 ，让是的主要子矩阵与秩序 ．然后， 在哪里是日最大特征值。

让为对称实矩阵，其块形式为 其中的转是 ．让是的平均行总和 ，然后 是的商矩阵 ．如果行之和是常数吗有一个公平的分区。

引理4（参见[19.]）。让是一个对称的真正矩阵，具有公平分区和的商矩阵 ．然后，的每个特征值特征值是 ．

引理5(参见[20.，21.]）。让那就画一张图吧 如果并且只有是一个完整的二部图，和 如果并且只有是一个完整的三方图。

引理6（见[2]）。让是的顺序的图和是多重的特征值 ．如果 ，然后 或者说, 与 ．

雷姆玛7。让是与…顶点和 诱导结党这样 ，然后-1是一个特征值与多重性至少 ．

证明。自从 诱导一个小集团和 ，然后第一个矩阵的行 是相同的,是单位矩阵。因此 包含作为至少一个多重的特征值 ，这表明了特征值是与多重性至少 ．

下面，我们将给出定理的证明1和2．

2．1.定理的证明1

让是的顺序的图 ．如果是完全二部图与 ，那么就很容易知道的，所有的特征值是 与多样性 ，分别。因此, ．

现在假设 ．我们会展示的必须是一个完整的二角形图形。让是特征值具有多重性 ．首先，假设 ，然后是排名的为2，并且因此，从引理可以得到完全二部图吗5．接下来,假设 （这种情况下，不能从以下证明发生）。然后， 与作为标识矩阵，表示独立的数量 （除此以外， 显然,一个矛盾)。此外，我们声称是一个cograph，即，不包含路径作为一个诱导子图。否则,假设包含作为一个归纳子图，然后，（resp。， ）是的主要子矩阵（resp。， ）.因此，人们可以获得这一点 一对矛盾。结果， ．如果 ， 是完全图的特征值和多重性为1和 ，分别。很明显, ．假设 和是一个任意连接的子图，其中包含4在下面。对于本征值的和的 ，从引理如下3.那

自从 ，我们获得还含有作为多重性的特征值至少为2。回顾这一点 ， ，和那是一个cograph，那么必须是其中一个图形的同性 (见图2）.但是，通过直接计算， 不包含从表中至少2的多个非零特征值1,一个矛盾。

因此，证明完毕。

２.２.定理的证明2

让是的顺序的图 ．我们首先给出充分性部分。如果是完全三部图吗与 ，然后从引理5， 很清楚 与特征值0多重性 ．假设是图与 和 在图中1．由引理7，至少包含−1作为多重性的特征值 ．根据分区 ，商矩阵的是

通过计算，矩阵的决定因素 是 这意味着-1不是商矩阵的特征值 ．应用引理4，我们得到的是-1的特征值具有多重性 ；那是， ．

我们现在证明了必要的部分。假设 和是特征值具有多重性 ．首先，如果 ，然后 和是一个完整的三方图与 从引理5．其次，假设 ，然后 ．我们声称独立的号码 ．假设相反的是 ．如果 ， 是完全图和 从定理的证明1．假设 与 一组独立的 ，,让的主子矩阵被 ．然后， 有矛盾 ．

现在假设 与 最大独立的一套 ，每个顶点都是由哪个产生的必须至少与其中之一相邻 ．为了完成证明，下面的权利要求是必要的。

权利要求1。特征值 ．
回顾那个 ，此外,如果 ，然后从引理6和 ， 有矛盾 ．因此， ．

要求2。不存在恰好与之相邻的顶点 ．
不损失普遍性，假设存在顶点的矛盾这样 ， 和 ．让的主子矩阵被 ，然后是的主要子矩阵和

表示行由顶点索引 ．自从 ，很清楚 是线性无关的，这就产生了其他的行可以写成线性组合 ．让

应用(11.)的第一、第二和第四列 ，我们得到了 收益率, ，权利要求矛盾1．

要求3。不存在相邻的顶点 ．

假设有一个矛盾存在一个顶点这样 ．与索赔证明类似2， 让的主子矩阵被 ，然后

作为 ，然后清楚地 是线性无关的，哪个张成的行空间 ．让

应用(14.）到列的列 ，我们得到了 这意味着 ，权利要求矛盾1．综上所述，我们可以看到 ，然后没有连接，是一个矛盾。结果， ．回顾以前的讨论，可以证明 ．

在下文中，我们证明了不含诱导路径 ，也就是说,是cograph。如果包含作为导出子，然后通过考虑的顺序5的导出子 ，我们可以看到,必须包含一些 (见图3.），为导出子（注意 ）.应用引理3.和索赔1，我们得到 包含作为至少为2的多重特征值。但通过直接的计算，就可以得出- 1的多重性作为的特征值 不超过一个(见表2），一个矛盾。因此，是一个cograph和直径 ．

现在我们可以完成证明了。请注意, 和 从上面的过程。让 是直径的 ，然后 是最大的独立组并且每个顶点出 与至少一个相邻 ．让 然后是任意顶点恰恰属于一个 ．我们需要以下索赔。

要求4。每个顶点（resp。， ）与每个人相邻 ．

假设 和 这样 ．然后，顶点 诱导的路径 ，一对矛盾。为的情况下证明平行，删去。

如权利要求5。的所有顶点（resp。， ）诱导一个小集团 ．

我们只是证明了 ．如果 和 ，然后 诱使一个独立的一套 ，有矛盾 ．

如权利要求6。的所有顶点诱导一个小集团 ．

假使，假设 和 ．考虑诱导的子图5阶的 ，我们获得与其中之一同构 (见图4）.它由引理如下3.那包含作为至少为2的多重特征值。但 包含来自表没有多重2的本征值3.,一个矛盾。

从索赔4- - - - - -6和事实 和 ，我们推导是图形的同构在图中1,如需要。证明完成了。

范•达姆(14.]和黄和黄[18.]用四个不同的特征值调查常规图表。在这里，作为定理的应用2，我们获得了一系列具有四个不同特征值的非正规图形。

推论8。该图与 和 (见图1）包含四个不同的特征值，这不是一般的曲线图。

证明。从定理证明2我们看到，-1是的特征值具有多重性而其余三个特征值是商品矩阵的那些的 ．自从 ，然后 包含两个正特征值和一个负特征值。根据Perron-Frobenius定理，的最大特征值很简单;然后，最大的特征值（resp。， ）很简单。因此, 包括三个不同的特征值，也就是说，包含三个不同的特征值。回顾-1不是的特征值 ，然后包含四个不同的特征值。而且，很明显不是常规图。

数据可用性

在本研究中，我们采用理论模型的方法进行研究。本文的结论主要是通过理论推导和数值研究得出的。其中，数值研究数据来自作者的假设，也在表中说明1- - - - - -3.．我们因此声明，没有进一步的外部数据被用于支持这项研究。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本工作得到了中国国家自然科学基金（授予号码11771443和71902105）以及浙江省教育部的访问学者和教师发展项目（授予号码FX2018113）。

参考

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