Kaluza能量动量张量的野外方程和拉格朗日

摘要

通过考虑与通常预测在Kaluza理论中通常假定的5D测地假设的5维（5D）能量动量张量，提供经典Kaluza场方程中的源期术语的分析和声明。通过提供5D物拉格朗日，这项工作完成了对古典Kaluza理论的拉格朗日分析，该理论开始了建立独特的Kaluza领域拉格朗日的正确形式。这项工作考虑了Kaluza源术语的一般协方差所需的转换属性，以确定现场方程中的源术语的正确形式，并建立与5D Geodeic假设相对应的5D Lagrangian。除了从其他标量张或标量电磁理论预期的标量场的影响之外，对于带有常规物理学的方式而变化源强度的充电物质出现了特殊的Kaluza耦合系数。我们简要评估了现场方程中的源术语的隐含修改。我们在高比电荷状态下发现了重力的ADM样中和，高比电荷对质量比的场强的饱和度。

1.简介和以前的结果

Kaluza [1认识到，通用相对性的张量重力和电磁体的矢量电位可以被理解为5维（5D）张力引力电位的组件。该统一意味着另外的第15个组件，其行为为4D变换下的标量。Kaluza最初将Kaluza标量字段（KSF）设置为常数;实际上，当KSF进入时，就会发生Kaluza Ansatz的4D限制 。包括KSF在内的完整场方程是在随后的几十年里由多个独立研究小组开发出来的，例如，[2-6.］．参考。[7.提供了不同团体的历史，由瑞士的谢勒、法国的Lichnerowicz、德国的乔丹和普林斯顿的迪克领导。我们还可以加上20世纪30年代爱因斯坦在普林斯顿的同事。

Klein提出了第五维度的紧凑，显微法解释[8.]，它提到了“Kaluza-Klein”理论。显微镜假设没有合乎逻辑的必要性[6.]，它在解决时呈现尽可能多的困难。我们在这里考虑，而是纯粹的经典理论，第五维允许完全开放和宏观。

Kaluza Ansatz是在5维中写入Einstein方程： 在哪里是5D公制的5D EINSTEIN TENTOR 那 是一个5d引力常数，是光速，和是一个5D能量动量源代码。小罗马索引范围在5个维度上。Kaluza强制执行缺乏明显的第五维度，“圆柱状况” 那意味着没有字段取决于第五坐标。没有这种情况，更多的自由度结果，并且没有明确的映射到熟悉的物理学。

5D度规的分量是用四维度规给出的 那电磁协调4-载体电位 那和一个标量字段 ： 希腊指数的范围超过了时空的四维，指数呢表示第五维度。我们允许标志现在未指明。因为 那逆度量由：

常数卡鲁扎理论的特征电-引力尺度参数是否与引力常数相结合无论是自由空间的介电常数， 那或自由空间的渗透率， ：

通常用其他参考文献中的CGS单元写入，因此电依赖性有点模糊。在这里，我们使用MKS单位，这使得电依赖性显式。Kaluza理论上没有免费参数，是唯一的特征常数。是一个经典量，与ADM质量密切相关[9.］．注意是没有单位的。

4D现场方程包含在5D Einstein张量中 ：其中包含了含有电磁场和标量场能量动量的爱因斯坦方程 ;由标量字段修改的麦克斯韦方程 ;和提供了一个等式 。

解决在英语语言文学中发现的现场方程的表达式的明显矛盾，采用张量代数软件进行评估[10.]而且相关的Kaluza Lagrangian是从5D Hilbert拉格朗日密度建立的 在哪里是ricci张量， 为电磁场强度张量，是决定因素 那引力场方程由对的变分得到 。

基于[的文献述评10.]表明，很少有作者恢复这个拉格朗日，文学在5D曲率张量方面具有代数误差。或者说5D爱因斯坦张量 。只有参考。[4.发现精确捕获曲率和爱因斯坦张量组件，以及拉格朗日（5.)．参考。[5.]提供正确的爱因斯坦张量组件和拉格朗日，但在曲率张量方面发出几件错误。参考。[3.那6.有正确的曲率张量。

表达方式 （5.）从考虑到5D Hilbert拉格朗日， 。形式（5.）是非常不寻常的，因为它只取决于KSF上的代数。即便如此，仍然在理论中获得完整的标量场动态，我们将看到。但是，其他作者还反映了另外的标准标量场动力学术语 那就像婆罗洲 - 迪克理论一样[11.];但是，一旦施加汽缸条件，这种自由度在Kaluza理论上是自然的。

的确，保角变换可以从(5.)，但代价是在拉格朗日量中加入一个标量场动力学项。具有标量场的系称为“约当系”，具有标量场动力学项的共形变换系称为“爱因斯坦系”。然而，保角变换并没有改变物理学，粒子仍然在约当坐标系上运动，而不是在爱因斯坦坐标系上[12.］．(中的电磁项5.）在共形转换下是不变的[5.］．

请注意，KSF既是一个可变的引力常数，如在[11.]，作为可变介电常数，如[13.］．这使得标量张或标量电磁理论中的理论非常独特。教科书，4D限制是 。

在本工作中，我们提供了对(1)，从而完成卡鲁扎场方程。我们发现5D协方差约束了源项的形式。然后，我们将继续考虑电磁、标量和引力场方程中这些源项的含义。

2.识别电荷

除了现场方程的对应关系，Kaluza [1还认识到，5D测地方程包含4D测地方程加电磁体的洛伦兹力，并沿第五坐标的运动识别电荷。然而，许多作者，包括Kaluza，仅考虑了弱充电状态，以避免在高度充电系统中发生的现场方程的表观修改。这里将提供对所有充电状态的确切治疗。

各种作者在Kaluza理论参数方面发出了不同的电荷识别。第一步是在Kaluza理论参数方面精确地识别电荷，并将其与其他作者的选择相关联。因此，我们开始像Kaluza，使用5D适当速度的粒子的5D测地程 ： 在哪里

从 （2），遵循4D和5D长度元素相关： 在哪里是一个未确定的常数。

首先考虑第五个组成部分的等式 。自 那协调组件是运动的常数：

重要的是要注意汽缸的条件远不是简单的。它意味着运动的一个有意义和不平凡的常数。

加入（8.） 和 （9.）提供了涉及的表达式到4D长度元素 那此表达式仅取决于不变的幅度和标量字段

关系（8.），（9.）， 和 （10.）在Kaluza文献中很常见。

现在，我们评估了5D测地方程的时空组件（6.），用于指标（2）和使用（9.)．各种种类(2）在REF中列表。[10.］．我们发现

该方程由参考文献求得。[4.那5.那14.］．4D重力，电磁和标量力术语干净地分开。根据术语分组，它的显着简单性也是如此 那代替 。

这个词在显然必须用洛伦兹力和参考识别。[14.]在这里指定(11.）作为电荷。我们继续，因为（11.)尚未涉及四维固有速度。

因此，我们使用（10.）转变（11.）： 粒子的4D固有速度是多少 在哪里

我们选择用系数识别电荷（12.)．因此，我们识别电荷休息群体 ：

识别（15.)和四维运动方程(12.）也通过refs获得。[4.] 和 [14.］．虽然仍然有一些不适，但仍然有田地进入电荷的定义（9.)，它们在运动方程中的分组使得识别不可避免。

注意这是一个经典理论，比率（15.）没有严格适用于基本费用。反而， （15.）电荷与带电，大规模流体的宏观体积的质量的比率。假设差分体积元素由宏观量的电荷载波组成，并且（15.）可以被视为具体的费用。因此，充电密度 那和电磁4电流 。

有两部分的标量力12.)，这确实是标量力所期望的形式[15.］．因此，这个词（10.） 在 尽管其他参考文献在标量力中忽略了第二个术语，但对4D标量力的适当表示是至关重要的。

标量力耦合到电荷的主体，它在电荷中如此二次。这意味着标量力仅取决于电荷的大小，而不是其标志。标量力消失了中性体，并且场方程和运动方程看起来与中立限制的4D对应物非常相似，因为 和 。标量场耦合的根本不同性质使KSF在其他标量张量理论中独一无二，这些理论想象标量场耦合到中性物质质能，比如重力本身。

因为包括依赖 那该理论预测诱导电荷 对于在电磁场中移动的显然中性体。例如，在特定情况下，似乎指示磁场中中性体的偏转。通过同样的令牌，似乎诱导的电荷也可以允许中性体耦合到标量力。

让我们写一种替代表格（10.）：

现在放在一起（9.），（14.）， 和 （16.）找到

表达式（10.），（16.）， 和 （17.）在现场方程中输入有效的耦合系数，它们取决于是否有不同的方式 要么 。系数(10.）可以确定为有效质量[4.那14.］．

3. 5D能量 - 动量张量

Kaluza还最初考虑了灰尘的5D能量动量张量，随后的作者也有。他们通常会考虑表格 那如果密度被称为Comoving框架，则只有协调性。另外，一些治疗不准确或限于弱电荷密度。在这里，我们仔细考虑构建适当的能量动量张量所需的变换性能。

像其他作者一样，我们考虑5D灰尘，与（6.)．我们之前的测量方程的考虑因素需要这种选择能量动量张量的选择，因为测地方程（6.）从相对论的能量储存施加到灰尘中。通过灰尘，我们的意思是大规模的液体颗粒，没有内部能量。它是颗粒的整体。这种灰尘是电荷的，没有量化的电荷载体，但每单位质量的特定电荷。

我们仅仅可以根据标准结果写出协变尘埃能量动量张量的形式[16.]： 在哪里 。时间坐标被挑出，与其他4个坐标一样独立。

通过施工，是4D密度，每单位每单位第五坐标为单位。只要在空间坐标上拍摄不变积分，就暗示了第五坐标上的集成， 。由于气缸条件，Integral没有函数相关性，可以设置为 。因此我们可以崩溃 那与往常一样每卷质量单位。

的因素在(18.）对5D协方差至关重要 那从而匹配5D协方差在(1）并使其成为张量。存在一些困惑，因为例如在宇宙学中的灰尘的标准描述，将流体密度引用到Comoving框架，以及因子被忽略了。然而，它在这里的存在会影响现场方程，因为如参考文献所示。[10.]， 。

回想一下，能量动量张量可以在物质行动的变化方面定义： 在哪里 。因此，我们可以写出对应的Lagrangian密度（18.)，并使用5D度量(3.）：

罗格朗安（20.)补充了场拉格朗日量(5.）提供5D理论的完整描述。虽然现场方程更容易从场拉格朗日获得而不是直接评估曲率张量，但是可以通过来自Lagrangian或5D能量动量张量的努力获得源术语。

现在建立了从5D协方差原则建立了必要形式的源期限，我们转向对Maxwell和Einstein方程的修改的影响，以进行指控。

4.具有来源的现场方程

许多Kaluza参考文献仅考虑真空方程，考虑领域拉格朗日的额外术语，限制对低电荷密度的关注，或者考虑仅在Comoving框架中有效的能量动量张量。在这里，我们提出了描述对爱因斯坦重力场方程和麦克斯韦尔电磁场方程中的对源术语的修改，以及从5D协调源术语（18.）与5D GeodeSic方程一致（6.)．

4．1.引力场方程

我们首先考虑具有协变衍生物的Kaluza引力场方程 。从真空方程预期的KSF中有修改，但也是新的，意外的效果来自问题源。 在哪里 由(10.），在哪里 是KSF能量动量张量，在哪里 为电磁能量动量张量。有一个有效的可变引力常数， 那在（21.），正如Brans-Dicke理论那样预期的。但是这个词 充当Kaluza耦合系数，该系数未预期标准的标量张张力重力。

KSF和电磁（EM）现场能量 - 动量（21.)有助于4D度规的曲率。在物质、电磁场和标量场之间的KSF耦合是代数上的不同——偏离了标准标量张量理论。

KSF能量 - 动量张量是无尺寸的（21.）;没有明确的耦合常数。这与标准的标量张理论不同。这里，KSF能量 - 动量更像是宇宙学常数，这也没有任何缩放参数。

现场方程的迹线（21.） 屈服

请注意，与标准GR，RICCI标量不同什么时候不会消失消失，因为KSF仍然有助于 。这也是与EM场不同的，因为痕迹消失，没有贡献 。KSF的表现得更像是空间曲率的表达，而不是像空间曲率的独立源，因为它是重力场变形时空的源自独立的光子 。

4.2。电磁场方程

现在我们为电磁场提供带有源项的修正麦克斯韦方程组:

请注意，KSF在MaxWell方程中行为（25.）与介电常数一样，而在重力方程中，它表现得像是像田地拉格朗日（5.)．

电流源（25.）再现通常的麦克斯韦源期限，通常充电密度 。

4．3．标量场方程

现在我们提供Kaluza标量场方程，具有来源

这是物理学的一个相对较新的方程，在Kaluza理论之外没有学习的模拟。

在电磁场方面，和 那 。

表格 （26.)的标量场方程是代数的 。然而取决于通过 （24.），所以代数场方程有自己的能量势头作为来源。这意味着作为自己的来源，非线性地行动，非常喜欢引力能源 - 动量如何非线性地作为自己的来源。我们已经注意到了能量 - 动量不会被调节在场方程中(21.），与其他形式的质量能量一样。

方程(26.）对其来源术语来说是物理学的新手， 那这转化为二次电荷。在Brans-Diicke标量场发现其中性物质的源极，KSF在电荷的物质中找到了它的来源。由于二次来源术语，积极和带负电的源产生相同的KSF。KSF显然与电场共存，因为两者都是通过电荷的物质生产的。KSF足够弱，这种领域可能已经未被发现吗？或者它只是被库仑电场的强度淹没了吗？事实上，该问题是由参考的解决。[4.]，谁发现了对库仑力的显着理论修改。此问题将在后续工作中进一步详细解决。

5.现场方程中的饱和效应

我们现在可以组合表达式（10.），（16.）， 和 （17.）对于具有前面的现场方程的Kaluza耦合系数。我们在源术语中找到两个不同的限制，这取决于电荷的存在，并且根据电荷相对于关键电荷 。

5.1。弱带电源的场，

在低比电荷限制， 那然后 和 。根据押记辨认(15.)，麦克斯韦方程有其标准标量-电磁形式，而不考虑的大小 ：

引力场方程在此限制中呈现标准的标量张形式：

标量场方程采用这种形式

该理论指定了从带电粒子和电场的KSF中的单独源。

5.2。强电荷源的场，

在高度收费的限制， 那我们必须使用(10.），（16.）， 和 （17.)．

现在考虑引力场方程（21.）在这个限制。随着具体的电荷增加和 那卡鲁扎耦合系数(10.） 那它的作用是中和源的引力效应，所以在引力场方程中，物质项为零。

这对卡鲁扎理论来说并不是一个新现象。这与Ref. [9.]在Reissner-Nordstrom指标中看到。对于高电荷粒子的重力效应，返回零是一种ADM质量效果，我们可能已经预期的标准4D理论是单独的。

麦克斯韦方程（25.）对幅度的幅度不变并具有与（27.)．

现在考虑KSF的高收费限额(26.)．现在的价值 在(16.）被驱动到大量的值，这取决于幅度 。而且，变化与 那暗示标量电荷饱和并在高电荷值下电荷变为线性。

6.讨论和结论

这项工作考虑了5D协方差要求，以构建5D爱因斯坦方程的5D能量动量源项(1)．能量动量张量和相关物质拉格朗日量(20.建立了)。结合场拉格朗日量(5.）由REF建立。[10.，一个完整的拉格朗日规范独特的卡鲁扎经典卡鲁扎理论现在提供。

能量动量张量的适当形式对于建立对电磁和重力场方程的正确修改是重要的。除了从其他标量张或标量电磁理论预期的标量场的影响外，奇特Kaluza耦合系数（10.)产生于带电物质，它以传统物理学所不知道的方式改变源的强度。

在高比电荷下的特殊效果包括重力质量能量的中和，并且以乘法在电荷中从电荷从电荷的二次电荷的方式中和饱和度。以前的作者计算了洛伦兹力法的重大修改[4.[普通电气实验室中，这里描述的一些新的物理效果可以是可检测的。

最后，我们注意到上面讨论的饱和效果取决于电荷的识别（15.）固定价值在(8.)．这些参数的更改可以将饱和效应移到麦克斯韦方程，但不能完全从理论中消失。正确分配电荷和 那因此，饱和效应的隔离，应由与4D物理的对应限制。这将在随后的工作中解决。

数据可用性

这是一篇理论性论文，并没有对经验数据作出回应。

的利益冲突

作者宣布没有利益冲突。

致谢

在AQD号码D19AC00020颁发的DARPA DSO支持此工作。

参考文献

1. T.卡鲁扎，《论物理学的统一问题》Sitzungsberichte der K. Preussischen Akademie der Wissenschaften Zu Berlin1921年。查看在：谷歌学术搜索
2. P. G.Bergmann，“统一场理论与十五个田间变量，”数学史，卷。49，没有。1，p。255,1948。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
3. m . y .三十几何 - Kaluza统一理论的等式，巴黎科学委员会，1948年。
4. j.a.法拉利，“关于带电物体的近似解和Kaluza-Klein理论的实验证据”，一般相对性和引力，卷。21，不。7，pp。683-695,1989。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
5. R. Coquereaux和G. esposto - farese，《卡鲁扎-克莱因-乔丹-蒂里的理论重新审视》，Annales de l'IHP PhysiqueThéorique，卷。52，pp。113-150,1990。查看在：谷歌学术搜索
6. J. M. Overduin和P. S. Wesson，“Kaluza-Klein Gravity”物理报告，卷。283，没有。5-6，pp。303-378,1997。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
7. H. Goenner，《关于标量张量理论起源的一些评论》一般相对性和引力，卷。44，不。8，pp。2077-2097，2012。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
8. O.克莱因，《作为量子理论定律的电原子性》，自然，卷。118，没有。2971，p。516,1926。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
9. R. Arnowitt, S. Deser，和C. W. Misner，“引力-电磁耦合和经典的自能问题”，物理评论，卷。120，不。1，pp。313-320,960。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
10. “用张量代数软件计算Kaluza度规的场方程和拉格朗日”，《重力，卷。2015年，第901870，6页，2015年。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
11. C. Brans和R. H. Dicke，《马赫原理和引力相对论》物理评论，卷。124，没有。3，pp。925-935,1961。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
12. S. Carroll，时刻和几何，艾迪生 - 韦斯利，旧金山，2004年。
13. j·d·贝肯斯坦，《精细结构常数:它真的是常数吗?》物理评论D.，卷。25，不。6，PP。1527-1539,1982。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
14. J. Gegenberg和G. Kunstatter，《卡鲁扎-克莱因时空中带电粒子的运动》物理字母A.，卷。106，没有。9，第410-414,1984。查看在：出版商网站|谷歌学术搜索
15. J. D. Jackson，经典电动力学， John Wiley & Sons，纽约，第二版，1975年。
16. S. Weinberg，引力和宇宙学， John Wiley & Sons，纽约，1972年。

版权

版权所有©2020 L.L. Williams。这是分布下的开放式访问文章创意公共归因许可证如果正确引用了原始工作，则允许在任何媒体中的不受限制使用，分发和再现。