具有无限均衡点的混沌系统：动态，马蹄形和同步

抽象的

发现具有隐藏吸引子的系统是一个具有挑战性的课题，近年来引起了科学界的极大兴趣。本文引入了一个新的混沌系统，该系统具有具有无限个平衡点的隐藏混沌吸引子。通过平衡分析、分岔图和极大李雅普诺夫指数，研究了这类特殊系统的动力学性质。为了确定系统的混沌行为，给出了系统的拓扑马蹄形结果。此外，还研究了两个具有无限平衡的新混沌系统采用自适应控制实现同步的可能性。

1.介绍

自20世纪60年代以来，具有混沌行为的非线性系统已被开发[1-4.］.他们的应用在许多领域中得到了见证，例如安全数字通信系统[5.]，多输入多输出雷达[6.]，具有随机位序列的图像加密[7.，或优化算法[8.］.虽然几乎正常混沌系统具有可数均衡点的数量，但在过去的五年里已经调查了几个具有无限均衡数量的异常系统[9.］.报告了线平衡的混沌系统在[9.-11］.通过使用预定义的一般形式发现了一种具有圆和方形均衡的新类混沌系统[12那13］.此外，在四维系统中观察到超变行为，曲线曲线[14]或四维系统，具有均衡线[15-17］.

值得注意的是，基于计算的观点，具有无限个平衡点的系统被认为是具有“隐藏吸引子”的系统[18-21］.隐藏吸引子对工程系统产生意想不到的影响[22-25］.然而，隐藏吸引子的特征并不是很好地理解[26］.社区对发现已知系统中的隐藏吸引子提出了一些担忧[27那28]，找到具有隐藏吸引子的新系统[29那30.]，研究具有隐藏吸引子的系统的同步方案[31，或证明具有拓扑马蹄形隐藏吸引子的系统中的混沌动力学[32那33］.

通过具有隐藏吸引子的系统的特殊功能，我们在这项工作中引入了一个新系统，在这项工作中具有开放的均衡点曲线。在下一节中，描述了新系统的模型，并通过不同的非线性工具发现了其动态。通过拓扑马蹄研究所提出的系统的混沌动力学3.．本节将讨论两个新的相同系统的可能的同步4.．最后,部分5.总结我们的工作。

2.具有无限个平衡点的新系统及其性质

本文提出的新系统是一个三维连续系统，描述为 其中三个状态变量是那,．值得注意的是，只有一个正参数()在系统中(1)．

在(1）等于零，即， 等式（2)表明,．用进入 （3.） 和 （4.） 我们有 也就是说，系统(1）有一个无限数量的均衡点：

的平衡，系统的雅可比矩阵(1)是由 将这个结果与，得到其特征方程 很容易验证特征方程(8.)有一个零特征值(）两个非零特征值（)，它取决于判别式的符号:

为了，我们得到积极的特征值．两个非零特征值是对于正判别式。当判别式9.)为负，则复共轭特征值对为．这些特征值确定均衡点是不稳定的和．

这个系统很有趣。1）无数均衡是混乱的以及初始条件．混沌吸引人的系统（1)如图所示1．它的李雅普诺夫指数和Kaplan-Yorke维数是那那,， 分别。众所周知的狼的方法[34]在我们的工作中被用于计算李雅普诺夫指数。计算时间为10,000。值得注意的是，一般情况下，在数值实验中，不同点的有限时间局部Lyapunov指数和Lyapunov维数不能得到相同的值[35-37］.因此，必须考虑网格网格上的有限时间局部Lyapunov尺寸的最大值[35-37］.

参数的值已更改以获得系统的详细动态（1无限平衡。通过减少参数的值从3.4到2.8，系统的分支图和最大Lyapunov指数(MLEs)1)见图2和3.， 分别。在减少参数的值时，可以观察从周期加倍的限制周期到混乱的路线．什么时候系统(1)保持在周期状态，例如在图中说明4.．系统(1）可以产生混沌吸引子．

3.具有无限平衡的混沌系统的马蹄形

拓扑马蹄形是研究动力系统混沌的另一种有效方法[38-44］.在具有隐藏吸引子的混沌系统中寻找拓扑马蹄形是一个重要的注意问题[32那33］.因此，在本节中，我们将在提出的具有无限平衡的系统(1)．

为支持无限均衡系统中混沌的验证(1)，拓扑马蹄形最重要的结果[45-47]简要审查。我们定义和作为公制空间和一个紧凑的子集是地图．我们假设有的相互不相交紧子集（IE。，）限制每个是连续的。一个紧凑的子集的满足为了．在这种情况下，是一个与之相关的的相互不相交紧子集．我们表示作为一系列与之相关的联系的相互不相交紧子集．家庭是一个-有联系的家庭的相互不相交紧子集什么时候

马蹄lemma（见[48])。如果有一个 连接的家庭 关于 的相互不相交紧子集 ，则存在紧不变集 和semiconjugate 转变动力学是 ．

为了找到拓扑马蹄形，我们选择两个多边形子集那在Poincaré地图上具有无限均衡的系统（1）： 相应的poincaré地图被定义为 这里是初始的图像这又回到了在第一时间 [48］.相同的定义可以应用于相应的Poincaré地图．在本工作中，第一个多边形子集的四个顶点是选为 而第二多边形子集的四个顶点被选为

两个选定的多边形子集及其图像显示在图中5.和6.．如图所示5.，验证这一点是微不足道的通过两个多边形子集和．相似地，穿过两个多边形子集和如图所示6.．根据马蹄素引理，具有无限均衡的系统的混沌（1） 决心，决意，决定 [45-47］.

4.具有无限平衡的恒等系统的同步

在Pecora和Carroll研究了混沌系统的同步后[49，各种同步技术和相关工程广泛呈现[50.-54.］.批判性地，两个相同混沌系统同步的可能性在实际应用中起着至关重要的作用[55.-58.］.在本节中，我们通过使用自适应控制器，我们发现两个具有无限均衡，称为主系统和从系统的新系统的同步。

我们考虑使用未知系统参数的以下主系统： 具有自适应控制的从系统给药 从系统和主系统之间的状态误差由 参数估计误差定义如下 其中是未知参数的估计吗．

为了使从系统与主系统同步，自适应控制构造如下: 其中那,三个正增益常数和参数更新规律是由

通过应用Lyapunov稳定性理论，我们将证明主系统（15）和奴隶系统（16)在使用自适应控制(19)．

在这项工作中，选择了Lyapunov功能 因此，差异化是 从 （17） 和 （18),我们有 用(23） 进入 （22），差异化可以表示为 因为是一个负面的semidefinite函数，简单验证了这一点那,指数为根据Barbalat的雷姆玛[59.］.换句话说，我们在主系统和从系统之间获得完全同步。

我们采取示例来说明计算同步方案。主系统和从系统的参数值固定为 我们假设主系统的初始状态为 虽然从系统的初始状态是 选择正增益常数如下：那,．取参数估计的初始条件为 同步错误的时间段如图所示7.．验证这个图很简单7.描述主从系统的同步。

5.结论

在这项工作中介绍了具有均衡曲线曲线的新混沌系统。有趣的是，由于具有无限数量的均衡点，该系统是具有隐藏吸引子的特殊系统，在文献中很少报道。通过相位肖像，平衡分析，Kaplan-Yorke维度，最大Lyapunov指数和分叉图研究了具有无限均衡系统的系统的基本动态特征。虽然研究人员对具有隐藏吸引子的系统中的拓扑马蹄铁来说是巨大的挑战，但在我们的工作中发现了具有无限均衡的新系统中的马蹄形。在研究两种新混沌系统同步的可能性之后，我们认为这种系统的潜在应用应在将来的工作中进一步考虑。

利益争夺

提交人声明没有关于本文的出版物的利益冲突。

致谢

作者感谢青都李教授，复杂系统，重庆邮电大学，中国的复杂系统分析和控制研究中心，以获得他有用的讨论和建议。作者熊王得到了中国国家自然科学基金（第61601306号）和深圳市海外高级人才孔雀项目基金（No.2000215145C）的支持。

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