非线性和非交换数学:量子物理的新发展和应用

1.特刊简介

这一期的数学物理进展解决了一些当代的主题，集中在非线性和非交换数学的领域(广泛解释)。这些包括一些快速发展的、多用途的领域，当然，没有明确的边界。他们不仅提出了许多不同方向的数学概括，而且他们在理论和数学物理中的应用是多种多样的——在量子化、量子理论和量子信息领域，在高能物理和量子引力，在等离子体物理和凝聚态理论，以及在其他领域。

特刊上的十篇文章使用了数学方法的横截面，只能解决这些领域中的一小部分。其中一些论文旨在对重要领域进行审查，而另一些则更具体地集中于此。在后一种情况下，我们仍然试图鼓励作者提供一些一般的背景。

2.量子化与量子场论

这个问题从一组四篇直接涉及到量子化和量子场论问题的文章开始，而所描述的方法也有许多其他重要的应用。Martin Schlichenmaier的综述对紧致Kähler流形的Berezin-Toeplitz中的关键概念和相关的变形量子化进行了简明而详细的阐述。这种量子化方法在理论上是最有用的量子化方法之一，在这一领域中来自紧致流形的结果最强。作者还指出了该技术在非交换几何研究中的可能应用，如模糊球面。接下来，Jean-Pierre Antoine和Camillo Trapani介绍了部分内积空间及其算子的概述，并通过一系列在信号分析和数学物理中很重要的函数空间来说明结果。希尔伯特空间作为状态空间与量子力学密切相关，使用连续谱的算子传统上是在狄拉克括号格式中处理的，从数学上讲，涉及到Gelfand三元组的使用。对于这种结构，数学上严格和充分的框架是偏内积空间的更一般的概念。类似地，在信号处理中，经常需要平滑的连续尺度，部分内积空间的使用变得特别有用。

在第三篇文章中，John Klauder定义并分析了与协变、不可重正化、自相互作用标量场量子化的相干态，从而满足仿射而不是正则交换关系。相干态是物理学和分析中众所周知的对象。本文从一个协变的、不可重正化的、自相互作用的标量量子场的晶格态出发，分析了利用位置算子和膨胀算子建立的仿射相干态。然后Ivan Todorov回顾了他与B. Bakalov, N. M. Nikolov和K.-H的合作。四维空间共形二维局部标量场理论中的规范对称性和Howe对偶性的Rehren。本文将二维共形场论的结果推广到四维。可能的模型被调查和无限维李代数，在这个背景下自然出现被研究。其中一个最重要的结果是实现多普里契-哈格-罗伯茨的超选择扇区和紧规范群的例子。这篇调查文章具有很大的教学价值，并将成为所有那些对保形场理论感兴趣的人的最佳来源之一。

3.二维射影Geomeotry

在这些广泛的回顾之后，我们包括一个简短的数学文章由内野久介使用格理论来解释V.阿诺德的二维射影几何。Arnold利用正则泊松括号考虑了所有两变量齐次二次形式的集合，它是泊松代数。Arnold的观点是射影平面上的点被二次型取代。Arnold利用正则泊松括号证明了泊松代数的雅可比恒等式给出了高度定理。Tomihisa推广Arnold的思想，用泊松代数证明了射影面的基本定理，如Pappus定理、Pascal定理和Brianchon定理。Uchino通过李代数的格结构给出了这些论点的清晰的观点。使用采摘器嵌入，内野显示二维射影几何编码(2)将经典Yang-Baxter方程转化为射影平面上的二次曲线几何。

4.无限维群与代数，规范理论，拓扑弦理论，和瞬态

本期特刊的下一篇文章是鲁道夫·施密德关于无限维李群和代数的广泛综述，包括微分同态群、规范群和环群，以及它们在数学物理中的一些应用领域。数学上，无限维李群非局部紧致，不满足有限维群的许多优雅性质。然而，在物理上，它们可以描述具有无限多个自由度的系统(包括非线性系统)的对称性;它们可以用数学方法编码局部对称性的重要思想。本文讨论的应用领域从电磁学(麦克斯韦方程组)、流体力学(欧拉方程组)、等离子体物理学(麦克斯韦-弗拉索夫方程组)到Korteweg-de Vries方程、BRST对称、标准模型、重力和超对称。

然后，我们介绍了Richard Szabo在规范理论和拓扑弦理论中的一些结果。建立了极大超对称规范理论中的瞬时计数与光滑变异不变量之间的联系。Szabo讨论的计数问题连接了六维拓扑弦理论/规范理论、四维超对称规范理论、三维Chern Simons理论和二维q-deformed Yang-Mills理论，以及二维共形场理论——与超对称黑洞的熵的关系，例如，Donaldson-Thomas和gromovv - witten不变量。这些拓扑模型，作为一个给定物理理论的拓扑扭曲，可以作为精确可解的系统，捕捉具有局部传播自由度的更复杂系统的某些扇区的物理内容。他们描述了物理模型的BPS扇区，并计算其中的非微扰效应。因此，对于特定的超对称带电黑洞，微观的贝肯斯坦-霍金-瓦尔德熵是用相关超对称规范理论的威腾指数计算的。这相当于在相关几何中计算d膜的稳定BPS束缚态，并通过OSV猜想与三次折叠不变量有关。

接下来Akifumi Sako回顾了四维非对易子，重点介绍了一些最近的观点，例如，非对易子电荷如何与非对易子变形之前的解的电荷相一致。

5.附加主题和创新方法

本期特刊的最后两篇文章再次给出了更具体的结果。Rémi Léandre讨论了白噪声分析和量子概率(通过玻色子Fock空间描述)，和Malliavin微积分(用于Wiener测度)利用预期Stratanovich积分的Nualart-Pardoux定义，在Wiener空间上的光滑1-形空间上构造了Poisson结构和Lie代数体。这一发展因一系列有关的传记资料而丰富，其中载有有关结果所涉问题的有趣评论，并澄清了该领域的各种概念。

最后，a . Bostan等人用协变线性微分方程在无穷阶交换有理变换下将重正化群精确表示为椭圆曲线的等元，从而引起了我们的注意。这些新颖和原始的结果处于许多数学物理领域的十字路口，如椭圆曲线理论和模形式，超几何函数理论和微分代数，仅举几个例子。这篇开创性论文中引入的概念和思想为统计力学晶格模型的深入研究和分析提供了新的和强大的工具，为Calabi-Yau流形和弦理论创造了意想不到的桥梁。最后但并非最不重要,本文提供了一个示例的一个富有成效的合作,在技术和应用数学的深入了解,基本的数学和理论物理的合著者来自不同国家和大洲合并在一个非常和谐的方式给一个美丽的和有用的结果。

许多论文还包括大量的书目资源。我们希望这些论述是一个丰富的资源，对数学家和理论物理学家都有兴趣。

m . Norbert Hounkonnou
美国Twareque阿里
杰拉尔德·a·戈尔丁
理查德·肯纳
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