一种将实零四动量编码为世界表坐标的方法

摘要

将实零动量四向量的笛卡儿分量编码为世界图上的坐标，给出了简化类弦系统在单连通世界图上作用的结果。这种识别一致地产生于解决问题的不同方法。

1.重演

本文基于Fairlie和Roberts的一篇未发表的旧文章[1)，这可以追溯到大约1972年，是基于弦理论提出的振幅模型，或者更确切地说是当时所称的双共振模型。(本文的研究结果收录在罗伯茨的博士论文中[2]。)Goddard等人的著名论文将玻色子弦量子化，这一显而易见的事实让我不知所措[3.，我认为这是弦理论的经典论文之一，但我从未将这篇论文提交发表。然而最近，索姆菲尔德和索恩写了一篇文章[4]，第4部分与[]中提出的模型密切相关。1，现在也许是把这些想法公诸于众的适当时候了。此外，其他最近的发展已经引起了对杨密尔理论中最大违反螺旋度(MVH)振幅的解释，根据拓扑弦振幅[5];null four-vectors和Koba-Nielsen变量之间的联系，这是[1可能并不完全是巧合。其目的是为生活在严格的四维时空中、质量为零而不是困扰玻色子弦双共振模型的速子基态的粒子构建一个可行的振幅。物理过程易于处理的模型的一个特点是在数学上易于处理的和人们想要得到的之间经常不匹配;例如，的潜在可积性与QCD的难解性，或者同时显示孤子和洛伦兹不变性的sin Gordon模型相比，超对称Yang Mills模型以在二维空间工作为代价。这里有一个类似于自对偶Yang-Mills理论的特征，它在偶信号空间中具有瞬态;我意识到，在签名空间中提出的理论在数学上更有说服力，尽管绝不排除洛伦兹的解释。这将在后面与Gross和Mende在高能散射方面的工作有关时进行讨论[6]。起点是著名的Koba-Nielsen公式，它给出了一个优雅的表达式点树振幅有入射动量的粒子对于开放弦的基态[7]， (这个积分测度是由正形不变引入的;考虑到在Möbius群变换下执行积分的实轴是不变的，条件是)。这意味着映射下的不变性: 已经证明，由于保角不变性的性质，这个公式产生作为一个贡献从单连通世界图弦散射。另一种写作方式(1.1)为指数: 被积函数的指数可以解释为动量在指定的点进入上半平面时对作用的(欧几里德)贡献然后对它们进行积分，以对由单连通世界图产生的振幅的路径积分作出贡献。的主要缺陷之一是(1.1)是速子条件，即是光。这个要求来自于映射下的不变性，它保持了上半复平面。背后的激进思想。1]是给振幅的公式一个不同的解释;不积分，而是确定坐标通过最小化被积函数;这是等量的，在第二版中使用最陡下降法。需要满足的方程是，设置， 如果我们在有特征的四维空间中，这些方程可以被认为是满足的与零four-momenta，坐标为(这里的实线)是由 这工作,因为 式的交替表达式得到第二个方程．通过减法和合理化，我们得到了 对所有粒子位置求和除了根据动量守恒，，我们看到(1.5)是满意的。如果不是实际的线，积分(1.1)在单位圆盘的边界上执行，在单位圆盘上进入动量的点可以通过 有一个Möbius转换(1.3.)连接了平面和圆盘的两种表示， 确实复杂的Möbius转换上相当于转换．

2.替代方法

考虑一个嵌入在四维空间中的二维曲面，并将四维向量作为曲面的参数表示在哪里和是具有度规的曲面上的内坐标: 在哪里 (见[1])。描述场动力学的南布-后藤拉格朗日是世界图面积的度量，是重新参数化不变形式吗 另一方面，众所周知，存在一个变换到所谓的等距坐标系统，其中拉格朗日量取简单的二次形式 哪个只在变量的重参数化子集下是不变的它们是正形的，也就是说，那些满足柯西-黎曼方程的变换。众所周知，在坐标系中和等距参数是由定义的吗．在这个坐标系中，欧拉方程最小化(2.3.)变成线性的，是公正的 根据维尔斯特拉斯定理，等距坐标系的条件可以写成以下形式 在哪里实部是鉴于…的事实…2.5)，条件是解析函数是什么．魏尔斯特拉斯条件表明，坐标系的正形映射保持等距性质。我们可以用闭合弦的Virasoro条件做一个连杆8，9]注意到这实际上是模型的规范条件;写作 这对于一个算子方程来说太苛刻了。相反，我们要求矩阵元素(2.7)都将消失,也就是说, 只要满足这些条件是闭合弦零质量基态的熟悉的Virasoro条件。的典型解(2.5)，且奇点个数有限 通过应用威尔斯特拉斯条件，我们得到 这对所有人都是正确的，这显然是必要的对于四动量守恒，也需要相同的条件像以前一样。在四点函数的情况下，这些条件的解(1.5)可以很容易地用交叉比率来解决给 在哪里 这个结果，根据交叉比，是独立于度规的，所以也适用于带有特征的洛伦兹度规．由此产生的振幅与可以评估给吗 作为以固定，也就是说，它表现出雷吉渐近行为。后来Gross和Mende研究了高能弦振幅的渐近行为[6发现了相同的联系(2.11)和曼德尔斯塔姆变量之间。

3.洛伦兹签名

如前所述，在四点函数的情况下，最小化条件可以用交叉比来解决。这表明，这些条件可以直接用变量来解决不管度规是什么。事实确实如此;对于实际的四动量，解可以表示为 不同的是在签名的情况下，四动量可参数化为，这意味着 变量在实数线上。或者，可以使用三角参数化，在这种情况下．但是在签名的情况下，参数化是混合的;，这意味着，因此(没有明显的集成轮廓。1.1)．

4.极小曲面的解释

通过对四维欧几里得空间中嵌入的最小曲面的参数化，可以获得更深入的见解，最初是由Eisenhart [10，但被肖重新发现[11，并引用于[1，12]。它是由 其中一撇表示对辐角的导数。假设我们寻找一个参数化实部是,是任意的原点。然后，由于上述方程的线性性，我们可以拆分和变成独立分量的和，即，，并推断，直到原点移位， 如果一个公设，使用同样的关系，获得之前，那么 这些方程具有这种形式的基本解 在哪里和,是实参数。如果实际参数化(1.8)被雇用，然后在实轴上 作为从来跳跃的在点，因此由动量的部分和(由于动量守恒封闭)形成的斜多边形被映射到实线上的区间。

5.结论

本文的主要内容是关注四维平坦空间中实零动量的笛卡儿分量与单连通世界图上的复变量之间的联系，这种联系与极小曲面或弦演化形式有关。这四个动量的集合也需要求和为零，即动量在系统中守恒。讨论了导致这种识别的各个方面。Koba-Nielsen被积函数的最小化，这是对自由运动方程初等解线性组合的Weierstrass条件的结果，以保证最小曲面解，从Eisenhart参数化中直接确定这类最小曲面解都表明需要根据零四动量的分量确定复变量。在一个甚至签名的空间;在一种表示中，复变量位于实数线上;在另一个圆圈上;在奇特征(洛伦兹度规)的情况下，没有特定的曲线上的变量。复变量的变换对动量进行齐次洛伦兹变换。

在我们的原始论文中，正如标准做法一样，对这些想法的进一步发展提出了乐观的预期，但必须承认的是，在这中间的35年里，两位作者都没有能够添加任何实质性的新内容!然而，正如T.S.艾略特所说，“一首诗可能有其作者所不知道的含义。”对最初由Eisenhart提出的四维极小曲面方程的解的进一步研究可能是富有成效的。本文的观点似乎有四个方面;中提出的经典弦解的参数化12，13]基于除法代数可能包含将动量和世界图坐标之间的联系扩展到10维的线索。索姆菲尔德与索恩的最新论文[4]将他们的想法扩展到AdS的时空，世界图被一个由零线组成的封闭多边形所包围，这幅图也包含在[14]基本上与Section中的相同4在本论文中。此外，Gross和Mende对高能弦振幅的处理[6]扩展了这一分析的某些方面，以增加连接的世界表。

本着这种精神，本修订和改写的[1]，希望能在动量空间和世界图之间找到更深层次的联系。

参考文献

1. D. B. Fairlie和D. E. Roberts，《没有超光速的双重模型——一种新的方法》，未发表。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
2. d·e·罗伯茨双振幅的数学结构1972年，英国杜伦大学图书馆，博士论文第四章。视图:MathSciNet
3. P. Goddard, J. Goldstone, C. Rebbi和C. B. Thorn，“无质量相对论弦的量子动力学”，核物理B，第56卷，第56期。1，第109-135页，1973。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. 索姆菲尔德和索恩，“平面和AdS时空中弦散射的经典世界图”，物理评论D(第78卷)4、文章ID 046005, 16页，2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
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9. M. A. Virasoro，《双共振模型中的附属条件和幽灵》物理评论D，第1卷，第2期。第2933-2936页，1970年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
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14. L. F. Alday和J. Maldacena，“强耦合胶子散射振幅”，高能物理杂志， 2007年第2期。6、2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

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