模糊强迫Duffing方程的参数估计：数值演出扩展龙格 - 库塔法

抽象的

在这项工作中，假设初始值在模糊数方面具有不确定性，将考虑具有次要共振的强制duffing方程。通过三种模糊差分方法，即Hukuhara差异及其泛化和模糊差异夹杂物来研究所产生的模糊模型。模糊算术对模型的应用导致一组具有一些附加方程的α-Cut确定性系统。然后通过扩展的跳动-Kutta方法解决这些系统。选择扩展的Runge-Kutta方法作为我们的数值方法，以便通过包括计算中的功能及其第一衍生值来增强解决方案的准确性顺序。在我们的模糊方法中，我们的模拟表明，模糊差异包涵体是捕获模型振荡行为的最合适的方法。使用上述模糊方法，我们展示了如何估算我们生成的模糊仿真数据的参数。

1.介绍

在现实世界中复杂系统的动态行为早已被广泛的研究人员通过数学建模研究，通过假设变量和参数是实数集。这当然是太严格（脆）的将被用作从通过包含不确定性的测量所获得的数据源的变量或参数。为了适应在建模这些不确定因素，需要深入的研究来形容数学模型的结构，发展的方法来确定模型的解决方案，使程序估计模型的参数。

许多有趣的行为可以在系统中观察到，如非线性振动特性。此行为可能会表现出复杂的动力学，取决于初始值和参数。一，说明这种行为的数学模型是首次由乔治·达芬在1918年推出的公式被广泛应用于物理学，并在生物杜芬方程[1]，疾病的预测[2，以及人口动态问题[3.］．的Duffing方程产生用于检查非线性振荡和混沌动力系统的有用模型。即有趣的观察另一个方面是外力的存在导致的共振现象，无论是一次或二次共振[4.那5.］．这引起了许多研究人员在确定模型的解决方案中进一步研究，分析和数值方法[6.-8.］．

除了系统中的振荡现象的外观之外，还必须在模型中考虑系统中的不确定性的参与。它可能是由几个因素引起的，包括可用数据的限制，系统的复杂性，或者环境或人口统计学的变化超出了研究人员在进行实验时的控制。可以描述不确定因素的模型在过去的几十年中是已知的，所谓的模糊微分方程。这个概念是由chang和zadeh引入的[9.]目前已由许多其他研究人员开发，其中一些延期。第一个提案是由hukuhara给出的[10.，它是基于一个区间值函数，称为Hukuhara微分。此外，Seikkala提出了一种基于alpha cut概念的模糊微分，称为Seikkala微分[11.］．然后，kaleva [12.那13.]证明了Hukuhara差动溶液相当于Seikkala差动溶液及其衍生物是相同的。此外，Hukuhara差的概念，后来扩大到所谓广义H​​ukuhara差[14.］．后来,Baidosov [15.那16.]使用差分夹杂物概念的概念来产生新的概念，称为模糊差分夹杂物[17.-20.］．原则上，所有上述概念都会通过使用模糊算术方法将模糊模型转换为所谓的α-切割确定性方程的内容[21那22］．

为了深入了解振荡现象，由于不确定性因素，在本研究中，我们采取与二级共振作为代表在初始值的不确定性的振动系统的模型强制杜芬方程。我们选择二次谐振式从我们以前的研究，即振荡行为提供不同的振荡行为与反倾销[23]和初级共鸣[24]类型。这种不确定因素可以被归类为模糊数，从而通过模糊强制的Duffing方程调用方程。我们将使用这三种类型的模糊差分，即Hukuhara差分，广义Hukuhara差分和模糊差分夹杂物来检查从模糊强制达芙化方程的比较。然后使用四阶扩展跳动-Kutta方法来解决从这三种类型产生的α-Cut确定型方程[25-28］．与此相反的标准四阶Runge-Kutta方法，这个扩展的方法使用新的参数通过将主函数的一阶导数在计算中进行评估，以提高溶液的精度。这被选择，因为它已被证明是接近比标准方法的精确解，在数种类型的系统行为（脆），如生长，物流，和周期性模式[29］．最后，我们展示如何使用最小二乘非线性方法中，通过选择正确的模糊差分类型，并使用模拟模糊数据来估计参数。模糊数据将通过强制Duffing方程与随机噪声的多尺度方法的近似解来确定。

2.材料

这里提到了一些与我们讨论相关的概念。

2．1.迫使杜芬方程

该Duffing方程是示出非线性振荡行为和混沌动力系统的数学模型。一个有趣的方面，观察是的外力的存在导致的共振现象，无论是一次或二次共振。强制Duffing方程与次级谐振给出如下： 那里是坐标位置的变量，它是时间的函数 ;这是波函数的幅度（或位移）;这是角速度;这为阻尼力(强度);和是阻尼控制器。

等式的近似解（1）由多尺度方法给出如下： 和 和 进行数值由来自系统的Runge-Kutta方法获得的：

２.２.模糊的概念

模糊理论的一些概念，给出如下。

定义1。模糊子集宇宙的特征在于功能 那称为会员函数 那这代表了模糊子集中元素的成员资格程度 。（1）模糊子集可以由由元素组成的一组有序对表示 并有一定的隶属函数形式： （2）alpha-cut 那表示 那是所有元素的清脆集属于模糊集至少程度 ：

定义2。让我们 是一个集所有实数的和是的模糊子集 。模糊子集由模糊数时调用（1） 是正常的，即 （2）所有的α-削减是封闭的间隔（3）的支持 那那是 那为界

所有模糊子集的集合用来表示 那和alpha-cut 缩短了 那和 。

基于可拓原理的模糊数的模糊算法如下:

定义3。让我们和是与α-削减模糊数 和 那分别为是一个实数。（1）之和的差和 ： （2）的乘法由 ： （3）的乘法和 ： 和 （4）分工由 那如果 ： 和

2.3。模糊微分方程（FDES）

FDE的一些基础知识概念，即模糊功能，模糊差异，Seikkala差异和Hukuhara和广义Hukuhara差异将在下面展示。

定义4。让我们 ; 有一个模糊功能 。然后， ; 和 那这是由Seikkala衍生物称为 。模糊函数由Seikkala微调用。

引理5（见[11.-13.])。让我们 ; 是模糊的功能。如果和Seikkala是可怜的，然后 和 ; 。

定义6。让我们 是所有模糊数的集合 。如果某些对的限制：（1） 和 那或者（2） 和存在并且等于某个元素 那然后强烈广义微在和是强广义衍生物的在 。

hukuhara差异有规则：如果 那然后 那假如的存在。在这里,标志是模糊的数字标准加法运算。在阿尔法切割方面， 和 和 。

如果是功能满足定义6., (1)被称为Hukuhara可分辨率（HD），如果它满足定义6.，（2）然后被称为通用的Hukuhara可分辨率（GHD）。

引理7（见[12.])。让我们 。为了 和 ; 然后（1）如果是高清,那么 （2）如果那是ghd，然后

２.４.模糊微分包含(FDI)

微分包含可以表示为一般形式: 在哪里 ; 是所有的子集的家族吗和 。等式的解决方案（11.）通过求解微分方程得到 那 那在哪里是一系列的根据 。

FDI是差分包容的概括，由[19.那20.]： 并被解释为微分包含族 对所有 。这里， 和 那在哪里是所有非空紧和凸子集的家庭 。

等式的解决方案（6.）是一个绝对连续函数 即满足列入 和 。所有方程式解决方案的集合（6.）用来表示 而实现的，在集 由 。钻石 [19.]证明，套 是问题的模糊溶液的α-切口（5.）.Gomez等人[20.已经保证如果然后是连续和有界的 定义。

2.5。古典和扩展跑步-Kutta（RK）方法

我们常微分方程的系统

经典RK方法的一般形式是由[给定28]： 与评价功能是 在哪里 那 和是常数。

扩展RK方法的一般形式由(Wu and Xia [25): 与评价功能和存在 在哪里 那和是常数。当通过前向差分法近似。具体来说，被嵌入 那IE。，是由过去和现在的评价的差商近似[27]， 。

3.主要结果

3.1。确定性系统

以初始值问题的形式，为 和 那等式（1)可以表示为: 和 。

假设初始值是模糊数字，从等式（1），我们以模糊的初始价值问题以形式获得如下： 和 。方程的问题（11.)称为模糊强迫Duffing方程。

让我们 。然后,我们得到 初始条件：

使用引理中的Hd概念7.（1）然后，我们获得了方程的确定性系统（2）： 并通过引理使用GHD概念7.（2），那么，我们得到 和 初始条件:

对于我们的模拟，我们采用[4.]： 和初始值：

模糊解决方案及其等式平面的图表（23） 和 （24）通过使用扩展RK方法在图中给出1和2， 分别。

从图中1（a），图表从一开始就减少，而图表减少片刻然后升起;然后，两者都远离近似解的图表很快。当Hd概念的结果没有显示出振荡行为。这意味着解决方案的不确定性甚至从进化的开始就增加了。这也通过图中的相平面显示出来1（b）。相平面曲线的坐标开始于原点 那然后曲线减小，反之，曲线一会儿，然后增加而减小。

在图2，和Figure几乎是一样的1发生在由GHD概念导致的解决方案。不同之处在于在不确定性之前存在振荡。此结果不指示切换点，这与我们以前的结果不同[23那24[其中两个也检查非线性模糊模型的振荡行为。在卡里姆等人。[23，使用gHd概念的模糊谐振子模型的解会随着开关点的出现产生几次振荡，而在Karim等人[24]，使用相同差异类型的模糊晶文模型的解决方案在每个时段中的开关点的外观产生振荡。

在另一方面，方程的概念，FDI（2）是所有微分包含的家庭 对所有 那和 。系统的模糊溶液（17.）获得为 只要系统是连续的并且是有界的给定 。

通过求解方程式（29）使用扩展RK方法，在方程中的参数（23）和等式中的初始值（24的图表 在等式（18.）如图所示3.。通过使用这个概念，我们可以捕捉方程的近似解的振荡行为（2），具有振荡的不确定性。

３．２．参数估计

从部分3.1，我们发现FDI的概念能够捕获振荡行为，并保持模糊强制Duffing方程解决方案的不确定性。这导致我们选择等式（29）作为估计模型参数的基础。通过使用非线性最小二乘（LSQNONLIN）方法来执行参数估计。

为了说明这个过程，我们设置了数据模糊模拟的，即，

等式（31）从等式（近似溶液模拟2），与它们在方程中的参数（27）初始值是 ）.当的数据模糊仿真如图所示4.。

通过使用最小二乘非线性方法，目标函数来执行参数估计优化如下： 在哪里 是数据系列的数量 那 和是波函数的振幅和阻尼被迫（分别）被估计，和是等式中的模糊解决方案（30.）， 和和数据是否如图中所示为模糊模拟4.。

使用目标函数优化在等式（32）需要初始值，还需要估计参数上的可选下限和上限LB和UB。因此，参数和在等式（27），这是在式（近似解决方案中使用2），被选为初始参数，即， 和 。然后，通过选择 为了并且 为了 那利用方程(32）产生参数：

通过使用式(33)和初始值 和 如公式（28)、方程解的图(29)，用扩展的龙格-库塔方法实现，如图所示5.。具有初始值的添加图 （ 式()的解的相平面29）在图中给出6.。

四，结束语

利用扩展的龙格-库塔方法研究了三个模糊微分概念，以捕获二次共振强迫Duffing方程的振动行为。Hd和gHd概念都不能捕捉到振荡。相反，FDI的概念能够捕获方程的振荡，并保持了模糊强迫Duffing方程的不确定性。这就促使我们将FDI的概念应用于模糊方程的参数估计，并利用非线性最小二乘法对一组数据进行模糊模拟。用多尺度方法从近似解模拟数据模糊。

数据可用性

没有数据来支持这项研究。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

第一作者要感谢数学和自然科学学院大学兰梦·曼各州和数学和自然科学系，为他们的支持提供了促进这项协作研究的支持。该研究由数学和自然科学学院资助，Universitas Lambung Mangkurat，No.797 / UN8.1.28 / 2019。