AMP 数学物理的发展 1687 - 9139<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 9120 Hindawi 10.1155 / 2020/3054672 3054672 研究文章 描述图的特征值大的多样性 气 Linming 1 苗族 Lianying 2 赵 Weiliang 1 https://orcid.org/0000 - 0002 - 9113 - 6135 刘 陆 3 Kurasov 帕维尔 1<一个ddr-line> 部门的基本课程 浙江工业大学理工 绍兴 浙江312000年 中国 zjipc.com 2<一个ddr-line> 数学学院的 中国矿业大学和技术 徐州 江苏221116年 中国 cumt.edu.cn 3<一个ddr-line> 经济与管理学院 山东科技大学 青岛 266590年山东 中国 sdust.edu.cn 2020年 29日<米onth> 4 2020年 2020年 23<米onth> 03 2020年 16<米onth> 04 2020年 29日<米onth> 4 2020年 2020年 版权©2020 Linming Qi et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

让<我nline-formula> G 是一个简单的和无向图。的邻接矩阵的特征值<我nline-formula> G 被称为特征值的<我nline-formula> G 。在本文中,我们描述的所有<我nline-formula> n 顶点图与多样性的一些特征值<我nline-formula> n − 2 和<我nline-formula> n − 3 ,分别。此外,作为主要结果的一个应用,我们现在一个家庭的非正规的图有四个不同的特征值。

教育部的浙江省 FX2018113 中国国家自然科学基金 71902105 11771443 1。介绍</t我tle> <p>这里所有的图很简单,无向和连接。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图的顶点集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。所有的邻居顶点的集合<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。两个相邻的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。的邻接矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个真正的对称矩阵,然后呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>如果有一条边加入顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>;否则,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被称为特征值的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ≥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ≥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。邻接矩阵的秩<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的排名吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,写成<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。一个矩阵的秩<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>也写<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。一组独立的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是的一个子集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这样没有任何两个顶点之间的边。的顶点数的最大独立集<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>被称为独立的数量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。两个顶点之间的距离<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>之间的最短路径的长度<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。表示由<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的直径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> 马克斯</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>多重性的一个特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>一个图的特征值的多重性吸引了大量关注。在这个主题(罗林森给出了一个广泛的调查<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>]。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>用一个特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。在[<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>),作者证明了如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。这个上限是扩展到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(或等价,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>)(<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>]。图表满意<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>讨论了在<xref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>]。在[<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>),作者研究了多重性的一个特征值图在一些特殊图类。此外,丰<xref ref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>]证明了许多的多样性特征值之间的关系路径时从图中删除。Bu et al。<xref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>]给出了上界两个特征值的多重性单循环的图和树。黄等。<xref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>改进一个上限的多样性的积极特征值树(<xref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xref>]。</p><p>注意,上界(<xref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>,<xref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>)建立多样性的特征值不等于0或1。换句话说,0和1的多样性特征值不能轻易有界。然后,有趣的是研究的多样性特征值0和1的图表。在这里,我们感兴趣的搜索图的特征值1或0大的多样性。众所周知,多样性的特征值0叫做零度图,已深入研究。因此,可能会注意到图的特征值1巨大的多样性。更普遍的是,在这篇文章中,我们研究了图的特征值大的多重性,因为它们相关的图表与几个不同的特征值,已调查集中(见[<xref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>- - - - - -<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>例如,)。</p><p>表示的集合<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点连接图和一些多样性的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>通过<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。以下是本文的主要结论。</p><年代t一个tement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完成两偶图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <italic> 。</我t一个lic></p> </statement> <statement id="thm2"> <title>定理2。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完成三方图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>或图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref rid="fig1" ref-type="fig"> 1</xref>),<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <italic> 。</我t一个lic></p> </statement> <fig id="fig1"> <label>图1</label> <p>这个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2020/3054672.fig.001"></graphic> </fig> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。证明</t我tle> <p>之前表现定理的证明<xref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xref>和<xref rid="thm2" ref-type="statement"> 2</xref>,我们首先提出一些已知结果的前题。</p><年代t一个tement id="lem1"> <title>引理3(交错定理,[< xref ref-type =“bibr”掉= " B19 " > < / xref > 19日])。</t我tle> <p>实对称矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的订单<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个主要的子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与订单<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>最大特征值。</p></年代t一个tement> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个对称的矩阵,其块形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 11</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋱</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋮</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> <mml:mtd></mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>的转置<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是平均行之和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的系数矩阵是吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果行之和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是常数,然后我们说什么<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有一个公平的分区。</p><年代t一个tement id="lem2"> <title>引理4(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B19 " > < / xref > 19日])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个对称的矩阵有一个公平的分区和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的系数矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后,每个特征值的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem3"> <title>引理5(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B20 " > < / xref >, < xref ref-type =“bibr”掉= " B21 " > < / xref > 21])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图形<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的偶图,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>当且仅当<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的三方图。</p></年代t一个tement> <statement id="lem4"> <title>引理6(见[< xref ref-type =“bibr”掉= " B2 " > < / xref > 2])。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个多样性的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> <mml:mo> ∉</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>或者说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="lem5"> <title>引理7。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有一个图表<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>顶点,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>引发一个小团体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后−1的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>至少与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>诱发的小团体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> N</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> j</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后第一个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>矩阵的行<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是相同的,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是单位矩阵。因此<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>至少作为一个特征值的多重性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,这表明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>至少与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <p>在下面,我们现在的定理的证明<xref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xref>和<xref rid="thm2" ref-type="statement"> 2</xref>。</p><年代ec id="sec2.1"> <title>2.1。定理的证明< xref掉=“thm1”ref-type = "语句" > < / xref > 1</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完成两偶图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,那么很容易知道的所有特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,分别。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>现在假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们将显示<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>必须是一个完整的两偶图。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。首先,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,那么排名<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>2,因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的从引理两偶图吗<xref rid="lem3" ref-type="statement"> 5</xref>。接下来,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(从下列证明这种情况下不会发生)。然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>单位矩阵,这表明独立号码<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>(否则,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>显然,一个矛盾)。此外,我们认为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个cograph,即<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不包含路径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>作为诱导子图。否则,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>作为诱导子图,然后,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)是一个主要的子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)。因此,一个可以获得<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>一个矛盾。作为一个结果,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完整的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>与多样性1和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,分别。很明显,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∉</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>任意4阶连通子图的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在下面。的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,它遵循从引理<xref rid="lem1" ref-type="statement"> 3</xref>那<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close=""> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>还包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>多样性的特征值至少2。回忆,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个cograph呢<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>必须同构的图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref rid="fig2" ref-type="fig"> 2</xref>)。然而,通过直接计算,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不包含任何非零特征值的多重性至少从表2<xref rid="tab1" ref-type="table"> 1</xref>,一个矛盾。</p><fig id="fig2"> <label>图2</label> <p>图表<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2020/3054672.fig.002"></graphic> </fig> <table-wrap id="tab1"> <label>表1</label> <p>图的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble> <tbody> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-1.4812</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">0.3111</td><td一个lign="center">2.1701</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">2</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">2</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-1.5616</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">2.5616</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <p>因此,完成证明。</p></年代ec> <sec id="sec2.2"> <title>2.2。定理的证明< xref掉=“thm2”ref-type = "语句" > < / xref > 2</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们第一次显示了充足的部分。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完成三方图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后从引理<xref rid="lem3" ref-type="statement"> 5</xref>,很明显<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>多样性的特征值0<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在图<xref rid="fig1" ref-type="fig"> 1</xref>。从引理<xref rid="lem5" ref-type="statement"> 7</xref>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>−1包含至少一个特征值的多重性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。根据分区<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M209"> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,系数矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M210"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M211"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M212"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>通过计算矩阵的行列式<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M213"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M214"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着−1不是一个系数矩阵的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M215"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。应用引理<xref rid="lem2" ref-type="statement"> 4</xref>我们获得−1的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M216"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M217"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>;也就是说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M218"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>我们现在证明必要的部分。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M219"> <mml:mi> G</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M220"> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M221"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M222"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。首先,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M223"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M224"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M225"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个完整的三方图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M226"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M227"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>从引理<xref rid="lem3" ref-type="statement"> 5</xref>。接下来,假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M228"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M229"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。我们主张独立的号码<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M230"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。假设相反<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M231"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M232"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M233"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>完整的图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M234"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M235"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> K</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∉</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> G</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>从定理的证明<xref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xref>。假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M236"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M237"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>一组独立的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M238"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M239"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的主要子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M240"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M241"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M242"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>矛盾与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M243"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>现在假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M244"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M245"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>最大独立集的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M246"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>收益率,每个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M247"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>必须相邻的至少一个的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M248"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。完成证明,以下索赔是必要的。</p><年代t一个tement id="claim1"> <title>权利要求1。</t我tle> <p>特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M249"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>回忆,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M250"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>进一步,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M251"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ≠</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后从引理<xref rid="lem4" ref-type="statement"> 6</xref>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M252"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M253"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>矛盾与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M254"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M255"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <statement id="claim2"> <title>要求2。</t我tle> <p>不存在顶点相邻的两个<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M256"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>不失一般性,假设存在一个顶点的一个矛盾<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M257"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M258"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M259"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M260"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M261"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的主要子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M262"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M263"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M264"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个主要的子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M265"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M266"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>表示由<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M267"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>的行<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M268"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>由顶点索引<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M269"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M270"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,很明显<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M271"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是线性无关的,收益率(殖利率),其他的行吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M272"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>可以写成一个线性组合的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M273"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。让<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M274"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>应用(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 11</xref>)第一、第二和第四列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M275"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M276"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close=""> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>收益率,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M277"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>反驳,声称<xref rid="claim1" ref-type="statement"> 1</xref>。</p><年代t一个tement id="claim3"> <title>要求3。</t我tle> <p>不存在每个顶点相邻<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M278"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <p>假设存在一个顶点的一个矛盾<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M279"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M280"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。类似的证明<xref rid="claim2" ref-type="statement"> 2</xref>,让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M281"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的主要子矩阵<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M282"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>被<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M283"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,然后<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M284"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>作为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M285"> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,那么显然<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M286"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是线性无关的,跨越的行空间<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M287"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。让<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M288"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>应用(<xref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 14</xref>)的列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M289"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M290"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close=""> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M291"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>反驳,声称<xref rid="claim1" ref-type="statement"> 1</xref>。结合上述索赔,我们看到,如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M292"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M293"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>没有关系,一个矛盾。作为一个结果,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M294"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。回忆起之前的讨论,它可以证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M295"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><p>接下来,我们证明<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M296"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不含诱导路径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M297"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,也就是说,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M298"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个cograph。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M299"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M300"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>作为诱导子图,然后通过考虑订单5的诱导子图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M301"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们看到,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M302"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>必须包含一些<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M303"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M304"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref rid="fig3" ref-type="fig"> 3</xref>)作为诱导子图(注意<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M305"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>)。应用引理<xref rid="lem1" ref-type="statement"> 3</xref>和索赔<xref rid="claim1" ref-type="statement"> 1</xref>,我们获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M306"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M307"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M308"> <mml:mi> θ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>多样性的特征值至少2。然而,通过直接计算,它遵循的多样性−1的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M309"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M310"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不超过一个(见表<xref rid="tab2" ref-type="table"> 2</xref>),一个矛盾。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M311"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个cograph和直径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M312"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><fig id="fig3"> <label>图3</label> <p>图表<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M313"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2020/3054672.fig.003"></graphic> </fig> <table-wrap id="tab2"> <label>表2</label> <p>图的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M314"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble> <tbody> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M315"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-1.618</td><td一个lign="center">-1.618</td><td一个lign="center">0.618</td><td一个lign="center">0.618</td><td一个lign="center">2</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M316"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1</td><td一个lign="center">-0.5392</td><td一个lign="center">-1.6751</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">2.2143</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M317"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">1</td><td一个lign="center">-0.5892</td><td一个lign="center">-1.7757</td><td一个lign="center">0.7237</td><td一个lign="center">2.6412</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M318"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-1.1701</td><td一个lign="center">2</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0.6889</td><td一个lign="center">2.4812</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M319"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 5</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-1.618</td><td一个lign="center">-1.4728</td><td一个lign="center">-0.4626</td><td一个lign="center">0.618</td><td一个lign="center">2.9354</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <p>现在我们能够完成证明。请注意,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M320"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M321"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>从上面的过程。让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M322"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是一个直径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M323"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M324"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>最大独立集的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M325"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和每个顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M326"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>相邻的至少一个吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M327"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。让<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M328"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="{" close=""> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> \</米米l:mo> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> ~</米米l:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M329"> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>正是属于之一<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M330"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们需要以下索赔。</p><年代t一个tement id="claim4"> <title>要求4。</t我tle> <p>每个顶点的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M331"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M332"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)是每一个相邻<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M333"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <p>假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M334"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M335"> <mml:mi> w</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>这样<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M336"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:mi> w</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。然后,顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M337"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> w</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>诱导路径<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M338"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,一个矛盾。证据的情况下<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M339"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是平行的,省略了。</p><年代t一个tement id="claim5"> <title>要求5。</t我tle> <p>所有的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M340"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M341"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>)诱导的小团体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M342"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <p>我们只证明的情况下<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M343"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M344"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M345"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M346"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>产生一个独立的组<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M347"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,矛盾<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M348"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</p><年代t一个tement id="claim6"> <title>要求6。</t我tle> <p>所有的顶点<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M349"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>诱导的小团体<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M350"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</p></年代t一个tement> <p>假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M351"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M352"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≁</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。考虑一个诱导子图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M353"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>订单5的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M354"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们获得<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M355"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>同构之一吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M356"> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref rid="fig4" ref-type="fig"> 4</xref>)。它遵循从引理<xref rid="lem1" ref-type="statement"> 3</xref>那<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M357"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M358"> <mml:mi> θ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>多样性的特征值至少2。但<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M359"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>不包含多样性的特征值从表2<xref rid="tab3" ref-type="table"> 3</xref>,一个矛盾。</p><fig id="fig4"> <label>图4</label> <p>图表<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M360"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><graphic xlink:href="//www.newsama.com/downloads/journals/amp/2020/3054672.fig.004"></graphic> </fig> <table-wrap id="tab3"> <label>表3</label> <p>图的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M361"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</p><t一个ble> <tbody> <tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M362"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-2.1774</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0.3216</td><td一个lign="center">2.8558</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M363"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">-2.1774</td><td一个lign="center">1</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0.3216</td><td一个lign="center">2.8558</td></tr><tr> <td align="left"> <inline-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M364"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula></td> <td align="center">2</td><td一个lign="center">-1.2361</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">0</td><td一个lign="center">3.2361</td></tr></tbody> </table> </table-wrap> <p>从索赔<xref rid="claim4" ref-type="statement"> 4</xref>- - - - - -<xref rid="claim6" ref-type="statement"> 6</xref>和事实<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M365"> <mml:mi> μ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M366"> <mml:mtext> 直径</米米l:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们得出,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M367"> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>同构的图吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M368"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>在图<xref rid="fig1" ref-type="fig"> 1</xref>,如需要。完成证明。</p><p>范•达姆(<xref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>和黄黄和<xref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>]研究正则图有四个不同的特征值。在这里,作为一个定理的应用<xref rid="thm2" ref-type="statement"> 2</xref>,我们获得一个家庭的非正规的图有四个不同的特征值。</p><年代t一个tement id="coro1"> <title>推论8。</t我tle> <p>这个图<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M369"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M370"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M371"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(见图<xref rid="fig1" ref-type="fig"> 1</xref>)包含四个不同的特征值,它不是一个正则图。</p></年代t一个tement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>从定理的证明<xref rid="thm2" ref-type="statement"> 2</xref>,我们看到−1的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M372"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>与多样性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M373"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>剩下的三个特征值的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M374"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>那些是系数矩阵的吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M375"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M376"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。自<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M377"> <mml:mi mathvariant="normal"> 依据</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo> =</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M378"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含两个正特征值和一个负特征值。Perron-Frobenius定理,最大的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M379"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>很简单;然后,最大的特征值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M380"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>(职责。<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M381"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>)很简单。因此,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M382"> <mml:mi> 问</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 我</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含三个不同的特征值,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M383"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含三个不同的特征值。−1不是一个特征值的回忆<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M384"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,然后<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M385"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>包含四个不同的特征值。此外,很明显,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M386"> <mml:mi> Γ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>不是一个正则图。</p></年代t一个tement> </sec> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>在这项研究中,我们使用理论模型方法进行研究。我们得到的结论主要通过理论推导和数值研究。其中,数值研究数据来源于作者的假设,也见表<xref ref-type="table" rid="tab1"> 1</xref>- - - - - -<xref ref-type="table" rid="tab3"> 3</xref>。我们因此宣布不再外部数据被用来支持本研究。</p></年代ec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突。</p></年代ec> <ack> <title>确认</t我tle> <p>这项工作得到了国家自然科学基金(批准号11771443和11771443)和访问学者和教师教育部门的开发项目浙江(批准号FX2018113)。</p></一个ck><ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 与多个特征值图</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 1998年</year> <volume> 283年</volume> <issue> 1 - 3</我年代年代ue> <fpage> 75年</fpage> <lpage> 85年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0024 - 3795 (98) 10082 - 4</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0040714478</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 贝尔</年代urn一个米e> <given-names> f·K。</given-names> </name> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图上的多样性特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 伦敦数学学会的公告</我t一个lic> <year> 2003年</year> <volume> 35</volume> <issue> 3</我年代年代ue> <fpage> 401年</fpage> <lpage> 408年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1112 / S0024609303002030</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0037499864</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在多个特征值的树木</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2010年</year> <volume> 432年</volume> <issue> 11</我年代年代ue> <fpage> 3007年</fpage> <lpage> 3011年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2010.01.003</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 77949656642</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在特征值的多重性和图形的周长</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2011年</year> <volume> 435年</volume> <issue> 10</我年代年代ue> <fpage> 2375年</fpage> <lpage> 2381年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2010.10.020</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 79958811137</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在图的特征值最大的多样性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 离散数学</我t一个lic> <year> 2013年</year> <volume> 313年</volume> <issue> 11</我年代年代ue> <fpage> 1162年</fpage> <lpage> 1166年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.disc.2011.11.024</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84887087134</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在立方图特征值多样性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2014年</year> <volume> 444年</volume> <fpage> 211年</fpage> <lpage> 218年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2013.11.036</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84891633432</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Capaverde</年代urn一个米e> <given-names> J。</given-names> </name> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在四次图形特征值多样性</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2017年</year> <volume> 535年</volume> <fpage> 160年</fpage> <lpage> 170年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2017.08.023</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85028944867</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 特征值的多重性规律的图形</一个rt我cle-title> <source> <italic> 离散应用数学</我t一个lic> <year> 2019年</year> <volume> 269年</volume> <fpage> 11</fpage> <lpage> 17</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.dam.2018.07.023</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85051364244</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 塞卡</年代urn一个米e> <given-names> c . M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 报告的多样性特征值的图</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性和多重线性代数</我t一个lic> <year> 2006年</year> <volume> 53</volume> <issue> 4</我年代年代ue> <fpage> 303年</fpage> <lpage> 307年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 03081080500092307</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 24144477228</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 部</年代urn一个米e> <given-names> C。</given-names> </name> <name> <surname> 张</年代urn一个米e> <given-names> X。</given-names> </name> <name> <surname> 周</年代urn一个米e> <given-names> J。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 注意图上的多样性特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2014年</year> <volume> 442年</volume> <fpage> 69年</fpage> <lpage> 74年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2013.08.003</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84890114287</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 黄</年代urn一个米e> <given-names> D。</given-names> </name> <name> <surname> 周</年代urn一个米e> <given-names> Q。</given-names> </name> <name> <surname> 田</年代urn一个米e> <given-names> F。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 多样性的特征值的树木</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2020年</year> <volume> 593年</volume> <fpage> 180年</fpage> <lpage> 187年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2020.02.004</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杜布</年代urn一个米e> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图与少量的截然不同的特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 纽约科学院上</我t一个lic> <year> 1970年</year> <volume> 175年</volume> <issue> 1</我年代年代ue> <fpage> 104年</fpage> <lpage> 110年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1111 / j.1749-6632.1970.tb56460.x</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0039422553</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 面包车大坝</年代urn一个米e> <given-names> e·R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 非正规的图有三个特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 杂志的组合理论,系列B</我t一个lic> <year> 1998年</year> <volume> 73年</volume> <issue> 2</我年代年代ue> <fpage> 101年</fpage> <lpage> 118年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1006 / jctb.1998.1815</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0011367968</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 面包车大坝</年代urn一个米e> <given-names> e·R。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 正则图有四个特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 1995年</year> <volume> 226 - 228</volume> <fpage> 139年</fpage> <lpage> 162年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / 0024 - 3795 (94)00346 - f</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 22044434252</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Muzychuk</年代urn一个米e> <given-names> M。</given-names> </name> <name> <surname> Klin</年代urn一个米e> <given-names> M。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在图三个特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 离散数学</我t一个lic> <year> 1998年</year> <volume> 189年</volume> <issue> 1 - 3</我年代年代ue> <fpage> 191年</fpage> <lpage> 207年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / s0012 - 365 x (98) 00084 - 3</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0042284276</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 罗林森</年代urn一个米e> <given-names> P。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图上只有三个不同的特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2016年</year> <volume> 507年</volume> <fpage> 462年</fpage> <lpage> 473年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2016.06.031</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84978514849</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 程</年代urn一个米e> <given-names> x M。</given-names> </name> <name> <surname> 格里夫斯</年代urn一个米e> <given-names> g·r·W。</given-names> </name> <name> <surname> Koolen</年代urn一个米e> <given-names> j . H。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 图最多有三个特征值和第二大特征值1</一个rt我cle-title> <source> <italic> 杂志的组合理论,系列B</我t一个lic> <year> 2018年</year> <volume> 129年</volume> <fpage> 55</fpage> <lpage> 78年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jctb.2017.09.004</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85029572821</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 黄</年代urn一个米e> <given-names> X。</given-names> </name> <name> <surname> 黄</年代urn一个米e> <given-names> Q。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 在正则图有四个不同的特征值</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数及其应用</我t一个lic> <year> 2017年</year> <volume> 512年</volume> <fpage> 219年</fpage> <lpage> 233年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.laa.2016.09.043</pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84991760627</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="book"> <label>19</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 了这</年代urn一个米e> <given-names> 答:E。</given-names> </name> <name> <surname> Haemers</年代urn一个米e> <given-names> w·H。</given-names> </name> </person-group> <source> <italic> 光谱图</我t一个lic> <year> 2012年</year> <publisher-loc> 纽约,纽约,美国</publisher-loc> <publisher-name> 施普林格</publisher-name> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / 978-1-4614-1939-6</pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="incollection"> <label>20.</label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Sciriha</年代urn一个米e> <given-names> 我。</given-names> </name> </person-group> <person-group person-group-type="editor"> <name> <surname> Alavi</年代urn一个米e> <given-names> Y。</given-names> </name> <name> <surname> 舔</年代urn一个米e> <given-names> d·R。</given-names> </name> <name> <surname> Schwenk</年代urn一个米e> <given-names> 一个。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 的等级图</一个rt我cle-title> <source> <italic> 组合数学、图论和Algotithms 2</我t一个lic> <year> 1999年</year> <publisher-loc> 密歇根</publisher-loc> <publisher-name> 马耳他大学</publisher-name> <fpage> 769年</fpage> <lpage> 778年</lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 程</年代urn一个米e> <given-names> B。</given-names> </name> <name> <surname> 刘</年代urn一个米e> <given-names> B。</given-names> </name> </person-group> <article-title> 无效的图形</一个rt我cle-title> <source> <italic> 线性代数的电子杂志</我t一个lic> <year> 2007年</year> <volume> 16</volume> <fpage> 60</fpage> <lpage> 67年</lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.13001 / 1081 - 3810.1182</pub-id> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>