AMP 数学物理的发展 1687 - 9139 1687 - 9120 Hindawi出版公司 10.1155 / 2016/4024836 4024836 研究文章 无限的混沌系统平衡分:动态,马蹄,同步 http://orcid.org/0000 - 0001 - 5151 - 9812 范教授 Viet-Thanh 1 http://orcid.org/0000 - 0001 - 8763 - 7255 沃洛斯 克里斯托 2 Vaidyanathan Sundarapandian 3 http://orcid.org/0000 - 0003 - 0211 - 1946 王 熊 4 太阳 之 1 学校的电子和电信 河内科技大学 01戴公司越南 河内 越南 hust.edu.vn 2 物理系 亚里士多德大学塞萨洛尼基 54124年塞萨洛尼基 希腊 auth.gr 3 研发中心 韦尔理工大学 Avadi 钦奈600062 印度 veltechuniv.edu.in 4 高级研究学院 深圳大学 深圳 广东518060年 中国 szu.edu.cn 2016年 5 12 2016年 2016年 27 09年 2016年 14 11 2016年 2016年 版权©2016 Viet-Thanh Pham et al。 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

发现系统与隐藏的吸引子是一个具有挑战性的主题获得了相当大的兴趣最近科学界。这项工作引入了一个新的混沌系统与无限的平衡有隐藏的混沌吸引子点。我们研究了动态属性的特殊系统通过均衡分析,分岔图,和最大李雅普诺夫指数。为了确认系统的混沌行为,系统拓扑马蹄铁的结果。此外,两个新的混沌系统的同步的可能性与无限的平衡是通过使用自适应控制研究。

 中国国家自然科学基金 61601306 深圳市海外高层次人才孔雀项目基金 20150215145 c 1。介绍

非线性系统的混沌行为自1960年代以来一直利用( 1- - - - - - 4]。他们的应用程序已经目睹了在许多领域,例如,安全数字通信系统( 5),多输入多输出雷达( 6用随机比特序列[],图像加密 7),或优化算法( 8]。虽然几乎正常混沌系统有一个可数的数量平衡点,很少有不寻常的无数的系统平衡调查在过去的五年 9]。据报道在混沌系统与生产线平衡 9- - - - - - 11]。一类新的混沌系统与圆和方均衡被发现通过使用预定义的一般形式( 12, 13]。此外,超混沌行为是观察到在一个四维系统平衡的曲线( 14)或四维系统平衡的一行( 15- - - - - - 17]。

值得注意的是,无限的系统平衡点视为系统与“隐藏的流动”观点的基础上计算( 18- - - - - - 21]。对工程系统(隐藏的流动造成意想不到的影响 22- - - - - - 25]。然而,隐性流动的特点不了解 26]。社区引起了一些担忧发现隐藏已知系统的吸引子( 27, 28),发现新系统与隐藏的流动( 29日, 30.),研究系统同步方案隐藏流动( 31日),或验证混沌动力学系统与隐藏的吸引子拓扑马蹄铁( 32, 33]。

出于特殊功能的系统隐藏的流动,我们引入一个新的系统以开放的平衡曲线点在这工作。在下一节中,新系统的模型及其动力学描述发现通过不同非线性工具。提出系统的混沌动力学研究通过拓扑马蹄铁 3。同步的两个新章节中讨论相同的系统 4。最后,部分 5总结我们的工作。

 2。新系统与无限数量的平衡点及其属性

新系统提出了在目前的工作是一个三维连续系统描述为 (1) x ˙ = - - - - - - z , y ˙ = x z 2 , z ˙ = x - - - - - - y 双曲正切 ⁡ y + z 一个 y 2 - - - - - - z 2 , 三个状态变量 x , y , z 。值得注意的是,只有一个积极的参数( 一个 )系统( 1)。

容易找到平衡的建议系统通过设置的右手边( 1)等于零, (2) - - - - - - z = 0 , (3) x z 2 = 0 , (4) x - - - - - - y 双曲正切 ⁡ y + z 一个 y 2 - - - - - - z 2 = 0 。 方程( 2)表明, z = 0 。用 z = 0 到( 3)和( 4)我们有 (5) x - - - - - - y 双曲正切 ⁡ y = 0 。 换句话说,系统( 1)有无限数量的平衡点: (6) E = x , y , z ∈ R 3 ∣ x = y ∗ 双曲正切 ⁡ y ∗ , y = y ∗ , z = 0 。

的平衡 E 系统的雅可比矩阵 1)是由 (7) J E = 0 0 - - - - - - 1 0 0 0 1 - - - - - - 双曲正切 ⁡ y ∗ - - - - - - y ∗ 1 - - - - - - 双曲正切 2 ⁡ y ∗ 一个 y ∗ 2 。 这个结果结合 d e t J E - - - - - - λ 我 = 0 ,我们获得它的特征方程 (8) λ λ 2 - - - - - - 一个 y ∗ 2 λ + 1 = 0 。 很容易验证特征方程( 8)有一个零特征值( λ 1 = 0 )和两个非零特征值( λ 2、3 ),这取决于判别的符号: (9) Δ = 一个 2 y ∗ 4 - - - - - - 4 。

为 Δ = 0 ,我们得到了积极的特征值 λ 2、3 = 一个 y ∗ 2 / 2 。两个非零特征值 λ 2、3 = 一个 y ∗ 2 ± Δ / 2 积极的判别。当判别式( 9)是负的,一对共轭复数特征值 λ 2、3 = 一个 y ∗ 2 ± 我 Δ / 2 。这些特征值平衡点 E 是不稳定的 一个 > 0 和 y ∗ ≠ 0 。

有趣的是,系统( 1)与不可数的平衡是混乱的 一个 = 2.9 和初始条件 x 0 , y 0 , z 0 = 0、0.1、0.2 。混沌吸引子的系统( 1呈现在图 1。李雅普诺夫指数和Kaplan-Yorke维度 l 1 = 0.0727 , l 2 = 0 , l 3 = - - - - - - 0.3122 , D K Y = 2.2329 ,分别。著名的狼的方法( 34)已经计算李雅普诺夫指数应用于我们的工作。计算的时间是10000年。值得指出,一般而言,在数值实验中一个不能指望得到相同的值的限定时间当地的李雅普诺夫指数和李雅普诺夫维度不同的点( 35- - - - - - 37]。因此,限定时间当地的最大李雅普诺夫维网格点上被认为是( 35- - - - - - 37]。

系统的混沌吸引子与无限的平衡( 1)在(a) x - - - - - - y 飞机,(b) x - - - - - - z 飞机,(c) y - - - - - - z 飞机。

参数的值 一个 已经更改为获得详细的动力学系统( 1)与无限的平衡。通过减少参数的值 一个 从3.4到2.8,分岔图和最大李雅普诺夫指数(ml)的系统( 1)所示的数据 2和 3,分别。可以观察到从倍周期极限环混乱,减少参数的值 一个 。当 一个 > 3.048 系统( 1)仍在期刊的州,例如,期刊的州 一个 = 3.35 说明在图 4。系统( 1)可以产生混沌吸引子 一个 ≤ 3.048 。

与无限的平衡系统的分岔图( 1当不同 一个 。

系统的最大李雅普诺夫指数( 1)对分岔参数 一个 。

与无限的平衡系统的极限环( 1)在(a) x - - - - - - y 飞机,(b) x - - - - - - z 飞机,(c) y - - - - - - z 飞机的 一个 = 3.35 。

 3所示。马蹄在混沌系统与无限的平衡

拓扑马蹄是一个不同的有效途径探讨混沌动力系统( 38- - - - - - 44]。有显著的关注寻求与隐藏的吸引子拓扑马蹄在混沌系统( 32, 33]。因此,在本节中,我们会发现在拟议的系统拓扑马蹄铁无限平衡( 1)。

为了支持验证的混乱与无限的平衡系统( 1拓扑马蹄(的),最重要的结果 45- - - - - - 47简要回顾了。我们定义 X 和 D 作为一个度量空间和一个紧凑的子集 f 是一个地图 f : D → X 。我们假设 米 互不相交紧凑的子集 D (例如, D 1 , D 2 , … , D 米 )和限制 f 对每一个 D 我 是连续的。一个紧凑的子集 d 的 D 满足 d 我 = d ∩ D 我 为 1 ≤ 我 ≤ 米 。在这种情况下, d 是一个连接对吗 米 互不相交紧凑的子集 D 。我们表示 F 对的连接作为一个家庭 米 互不相交紧凑的子集 D 。这个家庭 F 是一个 f 连接家庭有关 米 互不相交紧凑的子集 D 当 (10) d ∈ F ⟹ f d 我 ∈ F 。

马蹄引理(见[ 48])。 如果有一个 f 连接的家庭 F 关于 米 互不相交紧凑的子集 D ,然后有一个紧凑的不变集的存在 K ⊂ D 和semiconjugate 米 转变动力学是 f ∣ K 。

为了找到拓扑马蹄,我们选择两个多边形的子集 D 1 , D 2 在庞加莱映射 Γ 与无限的平衡系统( 1): (11) Γ = x , y , z ∈ R 3 ∣ z = 0 。 相应的庞加莱映射 H 被定义为 (12) H : Γ ⟶ Γ 。 在这里 H ( p ) 最初的形象吗 p 返回回 Γ 在第一次 48]。相同的定义可以应用于相应的庞加莱映射 H n 。在这个工作中,四个第一多边形的顶点子集 D 1 是选为 (13) 0.822470322,0.438565370 , 0.823776275,0.435278699 , 0.815679371,0.429691358 , 0.813328658,0.432978029 , 而第二个多边形的四个顶点子集 D 2 是选为 (14) 0.796873661,0.424104017 , 0.798701994,0.421146013 , 0.794261757,0.418188009 , 0.792694615,0.420160011 。

两个选择多边形及其图像显示在数据子集 5和 6。如图 5确认,这是微不足道的 H 6 D 1 经过两个多边形的子集 D 1 和 D 2 。同样的, H 6 D 2 穿过两个多边形子集 D 1 和 D 2 如图 6。根据马蹄引理,混沌系统的无限的平衡( 1)( 45- - - - - - 47]。

四边形的子集 D 1 和它的形象。

四边形的子集 D 2 和它的形象。

 4所示。相同系统的同步与无限的平衡

之后,佩科拉和卡罗尔在混沌系统同步的研究( 49)、各种同步技术和相关工作提出了广泛( 50- - - - - - 54]。至关重要的是,两个相同的混沌系统的同步的可能性在实际应用中发挥着至关重要的作用 55- - - - - - 58]。在本节中,我们发现两个新系统的同步与无限的平衡,叫做主系统和辅助系统,通过使用一个自适应控制器。

我们考虑下面的主系统与未知系统参数 一个 : (15) x ˙ 1 = - - - - - - z 1 , y ˙ 1 = x 1 z 1 2 , z ˙ 1 = x 1 - - - - - - y 1 双曲正切 ⁡ y 1 + 一个 y 1 2 z 1 - - - - - - z 1 3 。 奴隶与自适应控制系统 u = u x , u y , u z T 给药 (16) x ˙ 2 = - - - - - - z 2 + u x , y ˙ 2 = x 2 z 2 2 + u y , z ˙ 2 = x 2 - - - - - - y 2 双曲正切 ⁡ y 2 + 一个 y 2 2 z 2 - - - - - - z 2 3 + u z 。 从系统和主之间的状态错误系统计算了 (17) e x = x 2 - - - - - - x 1 , e y = y 2 - - - - - - y 1 , e z = z 2 - - - - - - z 1 。 参数估计误差定义如下 (18) e 一个 = 一个 - - - - - - 一个 ^ , 在这 一个 ^ 未知参数的估计吗 一个 。

为了同步奴隶系统和主系统,构造了自适应控制在以下形式: (19) u x = e z - - - - - - k x e x , u y = - - - - - - x 2 z 2 2 + x 1 z 1 2 - - - - - - k y e y , u z = - - - - - - e x + y 2 双曲正切 ⁡ y 2 - - - - - - y 1 双曲正切 ⁡ y 1 - - - - - - 一个 ^ y 2 2 z 2 - - - - - - y 1 2 z 1 + z 2 3 - - - - - - z 1 3 - - - - - - k z e z , 在这 k x , k y , k z 三个积极的增益常数和描述的参数更新法律吗 (20) 一个 ^ ˙ = e z y 2 2 z 2 - - - - - - y 1 2 z 1 。

通过应用李雅普诺夫稳定性理论,我们将证明主系统( 15)和奴隶制度( 16当使用自适应控制同步)( 19)。

在这部作品中,李雅普诺夫函数被选中 (21) V e x , e y , e z , e 一个 = 1 2 e x 2 + e y 2 + e z 2 + e 一个 2 。 因此,分化 V 是 (22) V ˙ = e x e ˙ x + e y e ˙ y + e z e ˙ z + e 一个 e ˙ 一个 。 从( 17)和( 18),我们有 (23) e ˙ x = - - - - - - k x e x , e ˙ y = - - - - - - k y e y , e ˙ z = e 一个 y 2 2 z 2 - - - - - - y 1 2 z 1 - - - - - - k z e z , e ˙ 一个 = - - - - - - 一个 ^ ˙ 。 用( 23)( 22)的分化 V 可以表示为 (24) V ˙ = - - - - - - k x e x 2 - - - - - - k y e y 2 - - - - - - k z e z 2 。 因为 V ˙ 是半负定的功能,它只是验证了吗 e x → 0 , e y → 0 , e z → 0 指数为 t → ∞ 根据Barbalat引理( 59]。换句话说,我们获得完整的主系统和辅助系统之间的同步。

我们举一个例子来说明计算的同步方案。在主系统和辅助系统的参数值是固定的 (25) 一个 = 2.9 。 我们假设主系统的初始状态 (26) x 1 0 = 0 , y 1 0 = 0.1 , z 1 0 = 0.2 , 而奴隶系统的初始状态 (27) x 2 0 = - - - - - - 0.7 , y 2 0 = 0.4 , z 2 0 = - - - - - - 0.1 。 选择积极的增益常数如下: k x = 4 , k y = 4 , k z = 4 。我们的初始条件参数估计 (28) 一个 ^ 0 = 3 。 针对不同的同步错误 e x , e y , e z 如图 7。它是简单的确认图 7描绘了主人和奴隶的同步系统。

针对不同的同步化错误显示之间的同步主系统和辅助系统。

 5。结论

一个新的混沌系统的曲线平衡已经介绍了工作。有趣的是,因为有无限数量的平衡点,隐藏的是一个特殊的系统,这是很少在文献中报道。基本动力系统的字符与无限的平衡是通过调查阶段肖像,均衡分析,Kaplan-Yorke维度,最大李雅普诺夫指数和分岔图。虽然是巨大的挑战的研究人员发现隐藏系统吸引子拓扑马蹄,马蹄在这种新系统与无限的平衡被发现在我们的工作。在研究小说的两个混沌系统同步的可能性,我们相信这样一个系统的潜在应用应考虑在未来进一步工作。

 相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

 确认

作者感谢李教授Qingdu复杂系统分析与控制研究中心,重庆邮电大学,中国,对他有用的讨论和建议。作者熊王是由中国国家自然科学基金(没有。61601306)和深圳市海外高层次人才(没有孔雀项目基金。20150215145 c)。

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